Exercício 9: Você puxa lateralmente um pêndulo simples de
de comprimento até um ângulo de
e solta-o a seguir.
(b) Quanto tempo levaria se o pêndulo simples fosse solto em um ângulo de
em vez de
?
(b) Quanto tempo levaria se o pêndulo simples fosse solto em um ângulo de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Comprimento do pêndulo:
. - Foi deslocado lateralmente até um ângulo inicial de
e solto. A parte (b) pergunta: se em vez de o pêndulo fosse solto em , quanto tempo levaria? - Interpretação prática que vou usar (clarificando o pedido): a pergunta refere-se ao tempo de uma oscilação completa (o período
) do pêndulo após o ser solto. Se o que se desejasse fosse outro tempo (por exemplo, o tempo para passar pelo ponto de equilíbrio), isso mudaria a resposta; aqui tomo como padrão o período.
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática passo a passo).
- O movimento angular do pêndulo obedece à equação (obtida das leis de Newton/ torque):
onde
é o ângulo em radianos,
é a derivada segunda em relação ao tempo,
é a aceleração da gravidade (
) e
é o comprimento do pêndulo.
- Essa equação é não linear por causa de
. Para ângulos pequenos podemos usar a aproximação (pequeno-ângulo):
válida quando
é pequeno em radianos. Substituindo na equação obtemos uma equação linear de movimento harmônico simples:
- Para um oscilador harmônico simples com equação
a frequência angular é e o período é
Comparando com a equação do pêndulo linearizada obtemos
- Aqui:
é o período (tempo de uma oscilação completa), é o comprimento do pêndulo e é a aceleração da gravidade. Note que nessa expressão o ângulo inicial não aparece: para a aproximação de pequeno ângulo o período é (aproximadamente) independente da amplitude.
Passo 3
Verificação da validade da aproximação de pequeno-ângulo (para termos segurança).
- Converter os ângulos para radianos (fórmula:
):
- Para esses valores
difere de por frações muito pequenas (por exemplo, para o erro relativo é da ordem de ). Portanto a aproximação é perfeitamente adequada aqui e podemos usar a fórmula do passo anterior com confiança.
Passo 4
Cálculo numérico do período usando
.
- Substituindo
e :
- Como a fórmula não depende da amplitude (dentro da aproximação de pequeno ângulo) o período será o mesmo tanto para o ângulo inicial de
quanto para .