Exercício 9: Você puxa lateralmente um pêndulo simples de 0,240 \mathrm{~m} de comprimento até um ângulo de 3,50^{\circ} e solta-o a seguir.
(b) Quanto tempo levaria se o pêndulo simples fosse solto em um ângulo de 1,75^{\circ} em vez de 3,50^{\circ} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Comprimento do pêndulo: L=0,240\\ \text{m}.
  • Foi deslocado lateralmente até um ângulo inicial de 3,50^\circ e solto. A parte (b) pergunta: se em vez de 3,50^\circ o pêndulo fosse solto em 1,75^\circ, quanto tempo levaria?
  • Interpretação prática que vou usar (clarificando o pedido): a pergunta refere-se ao tempo de uma oscilação completa (o período T) do pêndulo após o ser solto. Se o que se desejasse fosse outro tempo (por exemplo, o tempo para passar pelo ponto de equilíbrio), isso mudaria a resposta; aqui tomo como padrão o período.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática passo a passo).
  • O movimento angular do pêndulo obedece à equação (obtida das leis de Newton/ torque):
\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0,
onde \theta(t) é o ângulo em radianos, \ddot{\theta} é a derivada segunda em relação ao tempo, g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9,80\\ \text{m/s}^2) e L é o comprimento do pêndulo.
  • Essa equação é não linear por causa de \sin\theta. Para ângulos pequenos podemos usar a aproximação (pequeno-ângulo):
\sin\theta \approx \theta,
válida quando \theta é pequeno em radianos. Substituindo na equação obtemos uma equação linear de movimento harmônico simples:
\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\theta = 0.
  • Para um oscilador harmônico simples com equação \ddot{x} + \omega^2 x = 0 a frequência angular é \omega e o período é
T = \frac{2\pi}{\omega}.
Comparando com a equação do pêndulo linearizada obtemos
\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}, \qquad\text{logo}\qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
  • Aqui: T é o período (tempo de uma oscilação completa), L é o comprimento do pêndulo e g é a aceleração da gravidade. Note que nessa expressão o ângulo inicial não aparece: para a aproximação de pequeno ângulo o período é (aproximadamente) independente da amplitude.

Passo 3

Verificação da validade da aproximação de pequeno-ângulo (para termos segurança).
  • Converter os ângulos para radianos (fórmula: \theta_{\text{rad}}=\theta_{\text{deg}}\cdot\pi/180):
3,50^\circ \to \theta_1 = 3,50\cdot\frac{\pi}{180}\approx 0,06109\\ \text{rad},
1,75^\circ \to \theta_2 = 1,75\cdot\frac{\pi}{180}\approx 0,03054\\ \text{rad}.
  • Para esses valores \sin\theta difere de \theta por frações muito pequenas (por exemplo, para 3,50^\circ o erro relativo é da ordem de 0,06\%). Portanto a aproximação \sin\theta\approx\theta é perfeitamente adequada aqui e podemos usar a fórmula do passo anterior com confiança.

Passo 4

Cálculo numérico do período usando \;T = 2\pi\sqrt{L/g}.
  • Substituindo L=0,240\\ \text{m} e g=9,80\\ \text{m/s}^2:
\frac{L}{g}=\frac{0,240}{9,80}=0,0244898\ldots
\sqrt{\frac{L}{g}}\approx 0,15650\ldots
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\approx 2\pi\times 0,15650\ldots \approx 0,983\\ \text{s}.
  • Como a fórmula não depende da amplitude (dentro da aproximação de pequeno ângulo) o período será o mesmo tanto para o ângulo inicial de 3,50^\circ quanto para 1,75^\circ.

Resposta

T = 0,983\\ \text{s}

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