Exercício 7: Um brinquedo de 0,150 \mathrm{~kg} executa um MHS na extremidade de uma mola horizontal com uma constante \mathrm{k}=300 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Quando o objeto está a uma distância de 0,0120 \mathrm{~m} da posição de equilíbrio, verifica-se que ele possui uma velocidade igual a 0,400 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Quais são (a) a energia mecânica total do brinquedo em qualquer ponto; (b) a amplitude do movimento; (c) a velocidade máxima atingida durante o movimento?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas.
Dados (peguei-os do enunciado):
  • massa do brinquedo: m=0,150\\ \mathrm{kg}.
  • constante da mola: k=300\\ \mathrm{N/m}.
  • posição onde se conhece a velocidade: x=0,0120\\ \mathrm{m} (distância à posição de equilíbrio).
  • velocidade nessa posição: v=0,400\\ \mathrm{m/s}.
O que o enunciado pede:
(a) a energia mecânica total do sistema em qualquer ponto;
(b) a amplitude A do movimento;
(c) a velocidade máxima v_{\max} atingida durante o movimento.

Passo 2

Estratégia e fórmula principal (com explicação didática).
Em um movimento harmônico simples com mola sem atrito, a energia mecânica total E é conservada e é soma da energia cinética K e da energia potencial elástica U da mola:
E = K + U.
Aqui:
  • K=\dfrac{1}{2} m v^{2} é a energia cinética no instante em que a massa tem velocidade v.
  • U=\dfrac{1}{2} k x^{2} é a energia potencial armazenada na mola quando a massa está deslocada x da posição de equilíbrio.
A energia total também pode ser escrita em termos da amplitude A do MHS, porque no extremo (amplitude) toda energia é potencial:
E=\dfrac{1}{2} k A^{2}.
Isso nos dá duas maneiras úteis:
  1. Calcular E avaliando K+U no ponto em que temos x e v.
  2. Encontrar A usando A=\sqrt{\dfrac{2E}{k}} ou, diretamente, a partir da conservação da energia:
\dfrac{1}{2}m v^{2}+\dfrac{1}{2}k x^{2}=\dfrac{1}{2}k A^{2} \quad\Rightarrow\quad A^{2}=x^{2}+\dfrac{m}{k}v^{2}.
A velocidade máxima v_{\max} ocorre ao passar pela posição de equilíbrio x=0, onde toda a energia é cinética, então
v_{\max}=\sqrt{\dfrac{2E}{m}}.
Outra forma equivalente é v_{\max}=\omega A, com \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}} (frequência angular). Vou usar as expressões com energia, porque já calculamos E.

Passo 3

Calcular a energia mecânica total E usando E=\dfrac{1}{2}mv^{2}+\dfrac{1}{2}kx^{2}.
Calcule primeiro a energia cinética no ponto dado:
K=\dfrac{1}{2} m v^{2} = \dfrac{1}{2}\cdot(0,150)\cdot(0,400)^{2}\\ \mathrm{J}.
Passo a passo:
(0,400)^{2}=0,1600,
0,150\times 0,1600=0,02400,
K=\dfrac{1}{2}\times 0,02400=0,01200\\ \mathrm{J}.
Agora a energia potencial elástica no mesmo ponto:
U=\dfrac{1}{2} k x^{2} = \dfrac{1}{2}\cdot 300\cdot(0,0120)^{2}\\ \mathrm{J}.
Passo a passo:
(0,0120)^{2}=0,000144,
300\times 0,000144=0,0432,
U=\dfrac{1}{2}\times 0,0432=0,0216\\ \mathrm{J}.
Somando:
E=K+U=0,01200+0,0216=0,0336\\ \mathrm{J}.
Portanto a energia mecânica total é \;E=0,0336\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular a amplitude A.
Usando a relação derivada da conservação da energia:
A^{2}=x^{2}+\dfrac{m}{k}v^{2}.
Substituindo os valores (cada quantidade está entre parênteses conforme o enunciado):
x^{2}=(0,0120)^{2}=0,000144,
\dfrac{m}{k}v^{2}=\dfrac{0,150}{300}\times(0,400)^{2}.
Calcule \dfrac{m}{k}:
\dfrac{0,150}{300}=0,000500.
Já sabemos (0,400)^{2}=0,1600, então
\dfrac{m}{k}v^{2}=0,000500\times 0,1600=0,000080.
Somando:
A^{2}=0,000144+0,000080=0,000224.
Portanto
A=\sqrt{0,000224}=0,0149666\ldots\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente (mantendo precisão compatível com os dados): A\approx 0,01497\\ \mathrm{m}, que é cerca de 1,497\times 10^{-2}\\ \mathrm{m} (aproximadamente 1,50\\ \text{cm}).
Observação rápida: dá o mesmo resultado usar A=\sqrt{\dfrac{2E}{k}}, pois E já foi calculada.

Passo 5

Calcular a velocidade máxima v_{\max}.
Usando a relação energética v_{\max}=\sqrt{\dfrac{2E}{m}}. Substituindo E=0,0336\\ \mathrm{J} e m=0,150\\ \mathrm{kg}:
v_{\max}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 0,0336}{0,150}} = \sqrt{\dfrac{0,0672}{0,150}}.
Calcule a divisão:
\dfrac{0,0672}{0,150}=0,448.
Agora a raiz:
v_{\max}=\sqrt{0,448}=0,6689\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando: v_{\max}\approx 0,669\\ \mathrm{m/s}.
Verificação alternativa (coerência): calcular \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{300}{0,150}}=\sqrt{2000}=44,721\ldots\\ \mathrm{s^{-1}}. Então \omega A\approx 44,721\times 0,0149666\ldots\approx 0,669\\ \mathrm{m/s}, mesma resposta — bom sinal.

Resposta

(a) E=0,0336\\ \mathrm{J}
(b) A=0,01497\\ \mathrm{m}
(c) v_{\max}=0,669\\ \mathrm{m/s}

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