Exercício 7: Um brinquedo de
executa um MHS na extremidade de uma mola horizontal com uma constante
. Quando o objeto está a uma distância de
da posição de equilíbrio, verifica-se que ele possui uma velocidade igual a
. Quais são (a) a energia mecânica total do brinquedo em qualquer ponto; (b) a amplitude do movimento; (c) a velocidade máxima atingida durante o movimento?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas.
Dados (peguei-os do enunciado):
- massa do brinquedo:
. - constante da mola:
. - posição onde se conhece a velocidade:
(distância à posição de equilíbrio). - velocidade nessa posição:
.
O que o enunciado pede:
(a) a energia mecânica total do sistema em qualquer ponto;
(b) a amplitude do movimento;
(c) a velocidade máxima atingida durante o movimento.
(a) a energia mecânica total do sistema em qualquer ponto;
(b) a amplitude
(c) a velocidade máxima
Passo 2
Estratégia e fórmula principal (com explicação didática).
Em um movimento harmônico simples com mola sem atrito, a energia mecânica total
é conservada e é soma da energia cinética
e da energia potencial elástica
da mola:
Aqui:
-
é a energia cinética no instante em que a massa tem velocidade . -
é a energia potencial armazenada na mola quando a massa está deslocada da posição de equilíbrio.
A energia total também pode ser escrita em termos da amplitude
do MHS, porque no extremo (amplitude) toda energia é potencial:
Isso nos dá duas maneiras úteis:
- Calcular
avaliando no ponto em que temos e . - Encontrar
usando ou, diretamente, a partir da conservação da energia:
A velocidade máxima
ocorre ao passar pela posição de equilíbrio
, onde toda a energia é cinética, então
Outra forma equivalente é
, com
(frequência angular). Vou usar as expressões com energia, porque já calculamos
.
Passo 3
Calcular a energia mecânica total
usando
.
Calcule primeiro a energia cinética no ponto dado:
Passo a passo:
Agora a energia potencial elástica no mesmo ponto:
Passo a passo:
Somando:
Portanto a energia mecânica total é
.
Passo 4
Calcular a amplitude
.
Usando a relação derivada da conservação da energia:
Substituindo os valores (cada quantidade está entre parênteses conforme o enunciado):
Calcule
:
Já sabemos
, então
Somando:
Portanto
Arredondando razoavelmente (mantendo precisão compatível com os dados):
, que é cerca de
(aproximadamente
).
Observação rápida: dá o mesmo resultado usar
, pois
já foi calculada.
Passo 5
Calcular a velocidade máxima
.
Usando a relação energética
. Substituindo
e
:
Calcule a divisão:
Agora a raiz:
Arredondando:
.
Verificação alternativa (coerência): calcular
. Então
, mesma resposta — bom sinal.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)