Exercício 1.9 Você está viajando em direção a um grande espelho fixo a uma velocidade relativa constante 0.2 c_{0}. Em t=0, quando o espelho está a uma distância d de você (medida no seu referencial), você emite um pulso de luz de uma lanterna e então detecta o pulso de luz refletido 0.80 \mu \mathrm{~s} depois. Qual o valor de d ?

Passo 1

O enunciado diz que, no seu referencial, um espelho aproxima-se de você com velocidade constante v=0,2c. No instante t=0 a distância até o espelho é d. Você emite um pulso de luz, que bate no espelho e volta, e a detecção desse pulso ocorre em T=0,80\,\mu\mathrm{s}. O conteúdo aqui é cinemática relativística simples: a velocidade da luz é constante c e o espelho se move na sua direção, reduzindo o tempo de ida e volta. Vamos usar equações de movimento relativo para encontrar d.

Passo 2

Seja t_1 o tempo de ida do pulso até o espelho. Em t_1, o pulso percorre c\,t_1 e o espelho já se aproximou, de modo que
c\,t_1 \;=\; d \;-\; v\,t_1.
Resolvendo para t_1:
c\,t_1 + v\,t_1 = d \quad\Longrightarrow\quad t_1 = \frac{d}{c + v}.

Passo 3

No instante do reflexo t_1, o espelho está a uma distância
x_1 = d - v\,t_1
do emissor. O pulso refletido percorre essa mesma distância de volta a você, à velocidade c. Logo o tempo de retorno t_2 é
t_2 = \frac{x_1}{c} = \frac{d - v\,t_1}{c} = \frac{d - v\,\bigl(\tfrac{d}{c+v}\bigr)}{c} = \frac{d}{c+v} = t_1.

Passo 4

O tempo total medido até a detecção é
T = t_1 + t_2 = 2\,\frac{d}{c+v}.

Passo 5

Isolando d:
d = \frac{T\,(c+v)}{2}.

Passo 6

Substituindo v=0,2c, c=3{,}0\times10^8\mathrm{\,m/s} e \displaystyle T=0,80\,\mu\mathrm{s}=0,80\times10^{-6}\mathrm{s}:
c+v = c + 0,2c = 1,2\,c, \quad d = \frac{0,80\times10^{-6}\times1,2\,c}{2} = 0,6 \times 0,80\times10^{-6}\times3{,}0\times10^8 = 144\\ \mathrm{m}.

Resposta

d = 1{,}44\times10^2\\ \mathrm{m} (aproximadamente 144 metros).

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