Exercício 1.8 Duas partículas de massa de repouso m_{0} e 2 m_{0} estão se movendo em direções opostas com velocidades 0,9 c e 0,8 c, respectivamente. Elas colidem, e grudam-se, se movendo como uma única partícula. Encontre a velocidade e a massa de repouso da composição final.

Passo 1

O enunciado descreve uma colisão completamente inelástica entre duas partículas em regime relativístico. As massas de repouso são m_1=m_0 e m_2=2m_0, com velocidades v_1=+0,9c e v_2=-0,8c. Após a colisão elas grudam-se formando um único corpo de massa de repouso M_0 e velocidade v. Para resolver usamos a conservação do quadrimomento, i.e. conservação de momento total e energia total no referencial considerado.

Passo 2

Calcular os fatores de Lorentz \gamma_1 e \gamma_2:
\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{1-(0,9)^2}}\approx2,294157,
\gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{1-(0,8)^2}}=1,666667.

Passo 3

Calcular o momento total inicial P_{\rm tot}:
p_1 = \gamma_1\,m_0\,(0,9c)\approx2,064741\,m_0c,
p_2 = \gamma_2\,(2m_0)\,(-0,8c)=-2,666667\,m_0c,
P_{\rm tot} = p_1 + p_2 \approx -0,6019266\,m_0c.

Passo 4

Calcular a energia total inicial E_{\rm tot}:
E_1 = \gamma_1\,m_0\,c^2\approx2,294157\,m_0c^2,
E_2 = \gamma_2\,(2m_0)\,c^2=3,333333\,m_0c^2,
E_{\rm tot} = E_1 + E_2 \approx5,627490\,m_0c^2.

Passo 5

Determinar a velocidade final v pela relação
v = \frac{P_{\rm tot}\,c^2}{E_{\rm tot}} \approx\frac{-0,6019266\,m_0c\;c^2}{5,627490\,m_0c^2} \approx -0,10699\,c.

Passo 6

Obter a massa de repouso M_0 usando a invariante do quadrimomento:
M_0^2\,c^4 = E_{\rm tot}^2 - (P_{\rm tot}\,c)^2.
Em unidades de m_0:
\bigl(\tfrac{E_{\rm tot}}{c^2}\bigr)^2 = 5,627490^2,\quad \bigl(\tfrac{P_{\rm tot}}{c}\bigr)^2 = 0,6019266^2,
M_0 = \sqrt{5,627490^2 - 0,6019266^2}\;m_0 \approx5,5943\,m_0.

Resposta

A velocidade final é v\approx -0,107\,c (no sentido da segunda partícula)
A massa de repouso da composição é M_0\approx5,59\,m_0

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