Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
V=M_{2 \times 2} e W=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \right\rvert\, a+d \leq b+c\right\}

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=M_{2\times2} e o subconjunto
W = \left\{\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} \Bigm| a + d \le b + c\right\}.
Queremos decidir se W é subespaço de V usando a definição:
  1. W\neq\varnothing.
  2. Se X,Y\in W então X+Y\in W.
  3. Se X\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda X\in W.

Passo 2

Verificamos que W não é vazio, pois a matriz zero
0 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
satisfaz
0 + 0 \le 0 + 0,
logo 0\in W.

Passo 3

Fechamento em adição: sejam
X=\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\\ c_1 & d_1\end{pmatrix}\in W,\quad Y=\begin{pmatrix}a_2 & b_2 \\\ c_2 & d_2\end{pmatrix}\in W.
Então
a_1 + d_1 \le b_1 + c_1 \quad\text{e}\quad a_2 + d_2 \le b_2 + c_2.
Somando as duas desigualdades obtemos
(a_1+a_2)+(d_1+d_2)\le(b_1+b_2)+(c_1+c_2),
que é exatamente a condição para X+Y\in W. Portanto W é fechado sob adição.

Passo 4

Fechamento em multiplicação escalar: seja \lambda\in\mathbb{R} e
X=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in W,
ou seja a+d\le b+c. Para \lambda\ge0 multiplicar por \lambda preserva a desigualdade e \lambda X\in W. Mas se \lambda<0, a desigualdade inverte-se e normalmente falha. Por exemplo, tome
X=\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\in W,
pois 0+0 \le 1+0. Porém
-1\cdot X = \begin{pmatrix}0 & -1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
tem 0+0 \nleq -1+0. Logo -X\notin W e W não é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 5

Como falha a condição de fechamento para escalares negativos, W não é subespaço de V.

Resposta

W não é subespaço de V. Como contraexemplo,
X=\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\in W \quad\text{mas}\quad -\,X=\begin{pmatrix}0 & -1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\notin W.

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