Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão. V=M_{2 \times 2} e W=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \right\rvert\, a+d \leq b+c\right\}
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial V=M_{2\times2} e o subconjunto
W = \left\{\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} \Bigm| a + d \le b + c\right\}.
Queremos decidir se W é subespaço de V usando a definição:
W\neq\varnothing.
Se X,Y\in W então X+Y\in W.
Se X\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda X\in W.
que é exatamente a condição para X+Y\in W. Portanto W é fechado sob adição.
Passo 4
Fechamento em multiplicação escalar: seja \lambda\in\mathbb{R} e
X=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in W,
ou seja a+d\le b+c. Para \lambda\ge0 multiplicar por \lambda preserva a desigualdade e \lambda X\in W. Mas se \lambda<0, a desigualdade inverte-se e normalmente falha. Por exemplo, tome