Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão. V=M_{2 \times 2} e W=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \right\rvert\, a=c, b+d=0\right\}
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial V=M_{2\times2} (todas as matrizes 2\times2 sobre um corpo \Bbb K) e o subconjunto
W = \bigl\{\,\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\in M_{2\times2}\bigm|a=c,\;b+d=0\bigr\}.
Queremos decidir se W é subespaço de V. Para isso usaremos a definição de subespaço:
O vetor zero de V pertence a W.
W é fechado sob soma: se U_1,U_2\in W então U_1+U_2\in W.
W é fechado sob multiplicação escalar: se U\in W e \lambda\in\Bbb K, então \lambda U\in W.
Passo 2
Verificamos se a matriz zero de M_{2\times2} está em W. A matriz zero é
0 = \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Aqui temos a=0 e c=0, logo a=c. Também b=0 e d=0 implicam b+d=0. Assim 0\in W.
Passo 3
Mostramos a clausura sob soma. Tomemos
U_1=\begin{pmatrix}a & b\\\ a & d\end{pmatrix},\quad b+d=0, \qquad U_2=\begin{pmatrix}c & e\\\ c & f\end{pmatrix},\quad e+f=0.