Para os exercícios 13 a 16, faça a conversão de coordenadas indicada:
Cartesiana para esférica (x, y, z) \Longrightarrow(\rho, \theta, \varphi) :
(a) (0,0,-3)

Passo 1

O enunciado pede a conversão do ponto dado em coordenadas cartesianas (x,y,z) para coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi), onde usamos as convenções
x = \rho \,\sin\varphi\cos\theta, \quad y = \rho \,\sin\varphi\sin\theta, \quad z = \rho \,\cos\varphi,
com \rho\ge0, \theta\in[0,2\pi) e \varphi\in[0,\pi]. Vamos aplicar isso ao ponto (0,0,-3).

Passo 2

Calcular \rho como a distância até a origem:
\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-3)^2} = 3.

Passo 3

Determinar \theta. Como x=0 e y=0, o ângulo azimutal \theta fica indeterminado, mas por convenção escolhemos
\theta = 0.

Passo 4

Determinar \varphi via \cos\varphi = z/\rho:
\cos\varphi = \frac{-3}{3} = -1 \quad\Longrightarrow\quad \varphi = \operatorname{arccos}(-1) = \pi.

Resposta

(\rho,\theta,\varphi) = (3,\,0,\,\pi).

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