Nos Exercícios de 15 a 22, ache o raio de curvatura num ponto genérico da curva.
x^{1 / 2}+y^{1 / 2}=a^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede o raio de curvatura de forma genérica da curva definida por
\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}.
O conteúdo envolvido é cálculo de curvatura de uma curva do tipo y=y(x). Para isso vamos usar a fórmula do raio de curvatura
R=\frac{\bigl[1+(y')^2\bigr]^{3/2}}{\bigl|y''\bigr|},
onde y'=\frac{dy}{dx} e y''=\frac{d^2y}{dx^2}.

Passo 2

Diferenciando implicitamente \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a} em relação a x, obtemos
\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{y}}\,y'=0.
Isolando y', vem
y'=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada. Como
y'=-y^{1/2}x^{-1/2},
temos, por derivação do produto,
y''=-\Bigl(\tfrac12\,y^{-1/2}y'\,x^{-1/2}+y^{1/2}\bigl(-\tfrac12\bigr)x^{-3/2}\Bigr).
Substituindo y'=-\sqrt{y}/\sqrt{x} em cada termo:
y''=-\Bigl(\tfrac12\cdot\bigl(-\tfrac1{\sqrt{x}}\bigr)\!\cdot\!x^{-1/2} \;+\;y^{1/2}\bigl(-\tfrac12\bigr)x^{-3/2}\Bigr) =\frac1{2x}+\frac{\sqrt{y}}{2\,x^{3/2}}.

Passo 4

O numerador de R é
\bigl[1+(y')^2\bigr]^{3/2}=\bigl[1+\tfrac{y}{x}\bigr]^{3/2} =\Bigl(\frac{x+y}{x}\Bigr)^{3/2} =\frac{(x+y)^{3/2}}{x^{3/2}}.
O denominador é \lvert y''\rvert. Então
R =\frac{(x+y)^{3/2}/x^{3/2}}{\displaystyle\frac1{2x}+\frac{\sqrt{y}}{2x^{3/2}}} =\frac{(x+y)^{3/2}}{x^{3/2}}\;\bigg/\;\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2x^{3/2}}.

Passo 5

Usamos a relação \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a} para simplificar o denominador:
\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2x^{3/2}}=\frac{\sqrt{a}}{2x^{3/2}}.
Logo
R =\frac{(x+y)^{3/2}}{x^{3/2}}\;\cdot\;\frac{2x^{3/2}}{\sqrt{a}} =\frac{2\,(x+y)^{3/2}}{\sqrt{a}}.

Resposta

R=\frac{2\,(x+y)^{3/2}}{\sqrt{a}}.

Exercícios relacionados