Nos Exercícios de 15 a 22, ache o raio de curvatura num ponto genérico da curva.
4 x^{2}-9 y^{2}=16

Passo 1

O enunciado pede o raio de curvatura num ponto genérico da curva dada por
4x^{2}-9y^{2}=16.
O conteúdo que vamos usar é:
– diferenciação implícita para achar y' e y'',
– a fórmula da curvatura para um gráfico y=y(x), que é
\kappa = \frac{\lvert y''\rvert}{\bigl(1+(y')^{2}\bigr)^{3/2}},
e então R=1/\kappa.

Passo 2

Diferenciando implicitamente 4x^{2}-9y^{2}=16 em relação a x, temos
8x - 18y\,y' = 0
e portanto
y' = \frac{8x}{18y} = \frac{4x}{9y}.

Passo 3

Para achar y'', derivamos y'=\tfrac{4x}{9y} em x. Usando a regra do quociente,
y'' = \frac{9y\cdot 4 - 4x\cdot 9y'}{(9y)^{2}} = \frac{36y - 36x\,y'}{81y^{2}} = \frac{4\,(y - x\,y')}{9y^{2}}.
Substituindo y'=\tfrac{4x}{9y}, nota-se que
y - x\,y' = y - x\frac{4x}{9y} = \frac{9y^{2}-4x^{2}}{9y}.
Logo
y'' = \frac{4}{9y^{2}}\;\frac{9y^{2}-4x^{2}}{9y} = \frac{4\,(9y^{2}-4x^{2})}{81\,y^{3}}.
Mas da equação da curva 9y^{2}-4x^{2}=-16, então
y'' = \frac{4\cdot(-16)}{81\,y^{3}} = -\frac{64}{81\,y^{3}}.

Passo 4

Agora a curvatura é
\kappa = \frac{\lvert y''\rvert}{\bigl(1+(y')^{2}\bigr)^{3/2}} = \frac{\tfrac{64}{81\lvert y^{3}\rvert}} {\Bigl(1+\bigl(\tfrac{4x}{9y}\bigr)^{2}\Bigr)^{3/2}} = \frac{64}{81\,\lvert y^{3}\rvert} \;\frac{1}{\bigl(1+\tfrac{16x^{2}}{81y^{2}}\bigr)^{3/2}}.
No denominador interno,
1+\frac{16x^{2}}{81y^{2}} =\frac{81y^{2}+16x^{2}}{81y^{2}}.

Passo 5

Então
\kappa = \frac{64}{81\,\lvert y^{3}\rvert} \;\frac{1}{\Bigl(\frac{81y^{2}+16x^{2}}{81y^{2}}\Bigr)^{3/2}} = \frac{64}{81\,\lvert y^{3}\rvert} \;\frac{(81y^{2})^{3/2}}{(81y^{2}+16x^{2})^{3/2}}.
Como (81y^{2})^{3/2}=729\,\lvert y^{3}\rvert e 729/81=9, obtemos
\kappa = \frac{64\cdot 9}{(81y^{2}+16x^{2})^{3/2}} = \frac{576}{(81y^{2}+16x^{2})^{3/2}}.

Passo 6

O raio de curvatura é o inverso da curvatura:
R = \frac{1}{\kappa} = \frac{(81y^{2}+16x^{2})^{3/2}}{576}.

Resposta

R = \frac{\bigl(81y^{2}+16x^{2}\bigr)^{3/2}}{576}.

Exercícios relacionados