Nos Exercícios 5-16, utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de \mathbf{F} através da fronteira da região D.
9. Parte da esfera \mathbf{F}=x^{2} \mathbf{i}-2 x y \mathbf{j}+3 x z \mathbf{k}
D : A região cortada do primeiro octante pela esfera x^{2}+ y^{2}+z^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F}=x^{2}\,\mathbf{i}-2xy\,\mathbf{j}+3xz\,\mathbf{k} saindo da região D que é a parte no primeiro octante da bola x^{2}+y^{2}+z^{2}\le4. Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo é
\iint_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{D}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) +\frac{\partial}{\partial y}(-2xy) +\frac{\partial}{\partial z}(3xz) =2x-2x+3x=3x.

Passo 3

O fluxo é então
\iiint_{D}3x\,dV.
Para aproveitar a simetria, usamos coordenadas esféricas:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta,
com \rho\in[0,2], \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}], \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].

Passo 4

Substituindo,
\iiint_{D}3x\,dV =\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{2} 3(\rho\sin\varphi\cos\theta)\,\rho^{2}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{2} 3\rho^{3}\sin^{2}\varphi\cos\theta \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Separamos as integrais:
\int_{0}^{2}3\rho^{3}\,d\rho =3\cdot\frac{2^{4}}{4}=12,
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta =\bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{\pi/2}=1,
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\varphi\,d\varphi =\frac{\pi}{4}.

Passo 6

Multiplicando tudo:
12\times1\times\frac{\pi}{4}=3\pi.

Resposta

O fluxo exterior de \mathbf{F} através da fronteira de D é 3\pi.

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