Nos Exercícios 5-16, utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de
através da fronteira da região
.
7. Cilindro e paraboloide
: A região dentro do cilindro sólido
entre o plano
e o paraboloide
.
7. Cilindro e paraboloide
Passo 1
O enunciado pede o fluxo exterior de
através da fronteira de
, onde
é a região limitada por
,
e
. Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz que
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Logo o fluxo é
Passo 3
Para avaliar esse integral, usamos coordenadas cilíndricas:
Na região
:
Assim
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Então o integral fica
Separemos em duas partes:
- A parte com
:
- A parte constante:
Resposta
O fluxo exterior de
através de
é
.