Nos Exercícios 5-16, utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de \mathbf{F} através da fronteira da região D.
7. Cilindro e paraboloide \mathbf{F}=y \mathbf{i}+x y \mathbf{j}-z \mathbf{k}
D : A região dentro do cilindro sólido x^{2}+y^{2} \leq 4 entre o plano z=0 e o paraboloide z=x^{2}+y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo exterior de \mathbf{F}=y\,\mathbf{i}+xy\,\mathbf{j}-z\,\mathbf{k} através da fronteira de D, onde D é a região limitada por x^2+y^2\le4, z=0 e z=x^2+y^2. Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz que
\iint_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{D}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(y) +\frac{\partial}{\partial y}(xy) +\frac{\partial}{\partial z}(-z) =0 + x - 1 =x - 1.
Logo o fluxo é
\iiint_{D}(x-1)\,dV.

Passo 3

Para avaliar esse integral, usamos coordenadas cilíndricas:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dV=r\,dz\,dr\,d\theta.
Na região D:
0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le r\le2,\quad 0\le z\le r^2.
Assim
\iiint_{D}(x-1)\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2}\!\!\int_{0}^{r^2}\bigl(r\cos\theta-1\bigr)\,r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{r^2}(r\cos\theta-1)\,r\,dz =(r\cos\theta-1)\,r\,(r^2) =(r\cos\theta-1)\,r^3.
Então o integral fica
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}\bigl(r^4\cos\theta - r^3\bigr)\,dr\,d\theta.
Separemos em duas partes:
  1. A parte com \cos\theta:
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta\;\int_{0}^{2}r^4\,dr =0\quad(\text{pois }\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0).
  1. A parte constante:
-\int_{0}^{2\pi}\!d\theta\;\int_{0}^{2}r^3\,dr =-2\pi\cdot\frac{2^4}{4} =-2\pi\cdot4 =-8\pi.

Resposta

O fluxo exterior de \mathbf{F} através de \partial D é -8\pi.

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