Nos Exercícios 5-16, utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de \mathbf{F} através da fronteira da região D.
\mathbf{F}=x^{2} \mathbf{i}+y^{2} \mathbf{j}+z^{2} \mathbf{k}
Cubo D : O cubo delimitado pelos planos x=\pm 1, y=\pm 1 e z=\pm 1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo externo de \mathbf{F}=x^{2}\,\mathbf{i}+y^{2}\,\mathbf{j}+z^{2}\,\mathbf{k} através da fronteira do cubo D definido por -1\le x,y,z\le1, usando o Teorema da Divergência. Vamos precisar calcular a divergência de \mathbf{F} e integrá-la em D.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^2) +\frac{\partial}{\partial y}(y^2) +\frac{\partial}{\partial z}(z^2) =2x+2y+2z.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo é
\Phi =\iint_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{D}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV =\iiint_{D}(2x+2y+2z)\,dV.

Passo 4

Como D é simétrico em relação aos três eixos, cada integral \displaystyle\iiint_{D}x\,dV, \displaystyle\iiint_{D}y\,dV e \displaystyle\iiint_{D}z\,dV é zero (função ímpar em região simétrica). Logo,
\Phi =2\bigl(\iiint_{D}x\,dV+\iiint_{D}y\,dV+\iiint_{D}z\,dV\bigr) =2(0+0+0)=0.

Resposta

O fluxo externo de \mathbf{F} através da fronteira de D vale 0.

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