Nos Exercícios 5-16, utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de \mathbf{F} através da fronteira da região D.
\mathbf{F}=x^{2} \mathbf{i}+y^{2} \mathbf{j}+z^{2} \mathbf{k}
Cubo D : O cubo cortado do primeiro octante pelos pla \operatorname{nos} x=1, y=1 \mathrm{e} z=1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo exterior de \mathbf{F}=x^{2}\,\mathbf{i}+y^{2}\,\mathbf{j}+z^{2}\,\mathbf{k} através da fronteira do cubo D definido por
0\le x\le1,\quad 0\le y\le1,\quad 0\le z\le1.
O conteúdo é o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), que diz que o fluxo de \mathbf{F} pela superfície fechada \partial D é igual ao integral triplo de \nabla\cdot\mathbf{F} sobre D.

Passo 2

Calcular a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) +\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}) +\frac{\partial}{\partial z}(z^{2}) =2x+2y+2z.

Passo 3

Aplicar o Teorema da Divergência:
\iint_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{D}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV =\iiint_{D}2(x+y+z)\,dV.

Passo 4

Expressar o integral em coordenadas cartesianas com os limites de 0 a 1:
\iiint_{D}2(x+y+z)\,dV =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}2\bigl(x+y+z\bigr)\,dx\,dy\,dz.
Pela linearidade, esse integral se separa em três:
2\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}x\,dV +2\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}y\,dV +2\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}z\,dV.

Passo 5

Calcular cada termo. Por exemplo,
\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}x\,dx\,dy\,dz =\Bigl(\int_{0}^{1}x\,dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{1}dy\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{1}dz\Bigr) =\frac{1}{2}\cdot1\cdot1 =\frac{1}{2}.
Cada um dos três integrais dá \tfrac12, então
2\Bigl(\tfrac12+\tfrac12+\tfrac12\Bigr) =2\cdot\frac{3}{2} =3.

Resposta

O fluxo exterior de \mathbf{F} através da fronteira do cubo D é 3.

Exercícios relacionados