Nos Exercícios 5-16, utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de
através da fronteira da região
.
Cubo
: O cubo cortado do primeiro octante pelos pla
.
Cubo
Passo 1
O enunciado pede o fluxo exterior de
através da fronteira do cubo
definido por
O conteúdo é o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), que diz que o fluxo de
pela superfície fechada
é igual ao integral triplo de
sobre
.
Passo 2
Calcular a divergência de
:
Passo 3
Aplicar o Teorema da Divergência:
Passo 4
Expressar o integral em coordenadas cartesianas com os limites de
a
:
Pela linearidade, esse integral se separa em três:
Passo 5
Calcular cada termo. Por exemplo,
Cada um dos três integrais dá
, então
Resposta
O fluxo exterior de
através da fronteira do cubo
é
.