Nos Exercícios 5-16, utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de \mathbf{F} através da fronteira da região D.
\mathbf{F}=x^{2} \mathbf{i}+y^{2} \mathbf{j}+z^{2} \mathbf{k}
Lata cilíndrica D : A região cortada do cilindro sólido x^{2}+ y^{2} \leq 4 pelos planos z=0 e z=1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F}=x^{2}\mathbf{i}+y^{2}\mathbf{j}+z^{2}\mathbf{k} pela fronteira de
D=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le4,\;0\le z\le1\}.
Como a fronteira é fechada e \mathbf{F} tem divergência simples, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que diz
\iint_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS \;=\;\iiint_{D}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.

Passo 2

Calcular a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) +\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}) +\frac{\partial}{\partial z}(z^{2}) =2x+2y+2z.

Passo 3

O fluxo será
\iiint_{D}(2x+2y+2z)\,dV.
Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), temos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, dV=r\,dr\,d\theta\,dz e os limites
0\le r\le2,\quad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le1.

Passo 4

Por simetria no disco x^{2}+y^{2}\le4
\iiint_{D}2x\,dV=0 \quad\text{e}\quad \iiint_{D}2y\,dV=0,
pois as integrais de x e de y se anulam. Resta somente
\iiint_{D}2z\,dV.

Passo 5

Calculamos
\iiint_{D}2z\,dV =2\int_{z=0}^{1}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2} z\,(r\,dr\,d\theta\,dz).
Primeiro a integral em r e \theta:
\int_{0}^{2\pi}\!d\theta\;\int_{0}^{2}r\,dr =2\pi\;\cdot\;\frac{2^{2}}{2} =2\pi\cdot2 =4\pi.
Depois a integral em z:
2\cdot4\pi\int_{0}^{1}z\,dz =8\pi\cdot\frac{1}{2} =4\pi.

Resposta

O fluxo de \mathbf{F} através de \partial D é 4\pi.

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