1. Encontre a área da calota cortada da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=2
que fica acima do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Aqui o raio da esfera é R=\sqrt{2} e queremos a “calota” para a qual o ângulo polar \varphi satisfaz \tan\varphi=1.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
\tan\varphi=\frac{\rho\sin\varphi}{\rho\cos\varphi}=\frac{r}{z}=1
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\varphi=\frac{\pi}{4}.

Passo 3

O elemento de área da esfera em coordenadas esféricas é
\mathrm{d}S=R^{2}\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta.
Queremos integrar \varphi de 0 até \pi/4 e \theta de 0 a 2\pi.

Passo 4

Calculamos
A=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/4}R^{2}\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta =\;2\;\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta
pois R^{2}=2. Assim
A=2\cdot2\pi\bigl[1-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi/4} =4\pi\bigl(1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr) =2\pi\bigl(2-\sqrt{2}\bigr).

Resposta

A=2\pi\bigl(2-\sqrt{2}\bigr).

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