Nos Exercícios 5-16, utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de \mathbf{F} através da fronteira da região D.
Cilindro e paraboloide \mathbf{F}=y \mathbf{i}+x y \mathbf{j}-z \mathbf{k}
D : A região dentro do cilindro sólido x^{2}+y^{2} \leq 4 entre o plano z=0 e o paraboloide z=x^{2}+y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F}=y\,\mathbf{i}+xy\,\mathbf{j}-z\,\mathbf{k} através de \partial D, onde D é o sólido limitado por z=0 e z=x^2+y^2 sobre o disco x^2+y^2\le4. Vamos usar o Teorema da Divergência, que afirma:
\iint_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{D}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(y) +\frac{\partial}{\partial y}(xy) +\frac{\partial}{\partial z}(-z) =0 + x + (-1) =x-1.

Passo 3

O fluxo é
\iiint_{D}(x-1)\,dV =\iiint_{D}x\,dV \;-\;\iiint_{D}1\,dV.
Pela simetria de D em torno do eixo z, temos \displaystyle\iiint_{D}x\,dV=0. Logo
\iint_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =-\iiint_{D}1\,dV =-\mathrm{Vol}(D).

Passo 4

O volume de D é dado por
\mathrm{Vol}(D) =\iint_{x^2+y^2\le4}\bigl(x^2+y^2\bigr)\,dA
porque em cada ponto do disco a altura vai de z=0 até z=x^2+y^2.

Passo 5

Em coordenadas polares (r,\theta):
\mathrm{Vol}(D) =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} \bigl(r^2\bigr)\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}r^3\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\frac{2^4}{4}\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}4\,d\theta =8\pi.

Resposta

O fluxo exterior de \mathbf{F} através de \partial D é -8\pi.

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