Sabendo que as seguintes sequências são convergentes, determine os limites.
b_{n}=\frac{\ln \left(2+e^{n}\right)}{3 n}.

Passo 1

O enunciado define a sequência
b_{n} = \frac{\ln\bigl(2 + e^{n}\bigr)}{3\,n}
e pede \lim_{n\to\infty}b_{n}. O conteúdo aqui é limite de sequência envolvendo exponencial e logaritmo. Vamos usar a propriedade de logaritmo de um produto e o fato de que e^{n} domina 2 quando n\to\infty.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\ln\bigl(2 + e^{n}\bigr) = \ln\bigl(e^{n}(1 + 2e^{-n})\bigr) = \ln\bigl(e^{n}\bigr) + \ln\bigl(1 + 2e^{-n}\bigr) = n + \ln\bigl(1 + 2e^{-n}\bigr).

Passo 3

Substituindo em b_{n}, obtemos
b_{n} = \frac{n + \ln\bigl(1 + 2e^{-n}\bigr)}{3\,n} = \frac{n}{3\,n} + \frac{\ln\bigl(1 + 2e^{-n}\bigr)}{3\,n} = \frac{1}{3} + \frac{\ln\bigl(1 + 2e^{-n}\bigr)}{3\,n}.

Passo 4

Como e^{-n}\to 0 quando n\to\infty, segue \ln(1 + 2e^{-n})\to 0. Assim, o segundo termo \frac{\ln(1 + 2e^{-n})}{3\,n} tende a 0, e portanto
\lim_{n\to\infty}b_{n} = \frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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