Nos exercícios 18. e 19. exprima a integral dada em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas.
\iiint_{S} \sqrt[3]{x^{2}+y^{2}-1} d x d y d z, S=\left\{(x, y, z) ; z \leq \sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right) / 3}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 12\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a integral
\iiint_{S}\sqrt[3]{x^{2}+y^{2}-1}\,dx\,dy\,dz,
onde
S=\bigl\{(x,y,z)\mid z\le\sqrt{\tfrac{x^{2}+y^{2}}{3}},\;x^{2}+y^{2}+z^{2}\le12\bigr\},
em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas. O conteúdo é mudança de variáveis em integrais triplas, usando o Jacobiano adequado e os limites que descrevem S.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dx\,dy\,dz=r\,dz\,dr\,d\theta.
A esfera impõe r^{2}+z^{2}\le12. A outra superfície é z\le\sqrt{r^{2}/3}. As duas se cruzam em
\sqrt{\tfrac{r^{2}}{3}}=\sqrt{12-r^{2}}\quad\Longrightarrow\quad r=3.
Logo dividimos r em [0,3] e [3,2\sqrt3]:
  • Para 0\le r\le3: -\sqrt{12-r^{2}}\le z\le\sqrt{r^{2}/3}.
  • Para 3\le r\le2\sqrt3: -\sqrt{12-r^{2}}\le z\le\sqrt{12-r^{2}}.
    E \theta\in[0,2\pi]. A integranda vira \sqrt[3]{r^{2}-1}\,r.

Passo 3

Em coordenadas esféricas fazemos
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\; y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\; z=\rho\cos\varphi,\; dx\,dy\,dz=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
A esfera é \rho\le\sqrt{12}=2\sqrt3. A condição
\rho\cos\varphi\le\sqrt{\tfrac{\rho^{2}\sin^{2}\varphi}{3}}

\cos\varphi\le\tfrac1{\sqrt3}\sin\varphi
ou
\tan\varphi\ge\sqrt3,
isto é \varphi\in[\pi/3,\pi]. E \theta\in[0,2\pi]. A integranda fica \sqrt[3]{\rho^{2}\sin^{2}\varphi-1}\,\rho^{2}\sin\varphi.

Resposta

A integral em coordenadas cilíndricas é
\int_{0}^{2\pi}\!\Biggl[\int_{0}^{3}\!\int_{-\sqrt{12-r^{2}}}^{\sqrt{r^{2}/3}} \sqrt[3]{r^{2}-1}\,r\,dz\,dr +\int_{3}^{2\sqrt3}\!\int_{-\sqrt{12-r^{2}}}^{\sqrt{12-r^{2}}} \sqrt[3]{r^{2}-1}\,r\,dz\,dr\Biggr]d\theta.
A integral em coordenadas esféricas é
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{\pi/3}^{\pi}\!\int_{0}^{2\sqrt3} \sqrt[3]{\rho^{2}\sin^{2}\varphi-1}\;\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.

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