Nos exercícios 18. e 19. exprima a integral dada em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas.
é o sólido interior ao cilindro
, entre
e
.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a integral
nas duas parametrizações usuais: coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas.
O domínio é dado por
O domínio
Em cilíndricas vamos usar
com
,
.
Em esféricas usamos
Em esféricas usamos
com
,
,
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas a condição
vira
e
. O jacobiano é
. Logo
Passo 3
Em coordenadas esféricas a condição
implica
. A restrição cilíndrica
dá
, e o teto
vira
Assim em esféricas
. O jacobiano é
. Portanto
Resposta
Em coordenadas cilíndricas:
Em coordenadas esféricas: