Nos exercícios 18. e 19. exprima a integral dada em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas.
\iiint_{S} \sqrt{81-x^{2}-y^{2}-z^{2}} d x d y d z, S é o sólido interior ao cilindro x^{2}+y^{2}=4, entre z=0 e z=6-\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a integral
\iiint_{S}\sqrt{81 - x^2 - y^2 - z^2}\,dx\,dy\,dz
nas duas parametrizações usuais: coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas.
O domínio S é dado por
x^2 + y^2 \le 4,\quad 0 \le z \le 6 - \sqrt{x^2 + y^2}.
Em cilíndricas vamos usar
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
com r\ge0, \theta\in[0,2\pi].
Em esféricas usamos
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi,
com \rho\ge0, \varphi\in[0,\pi], \theta\in[0,2\pi].

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a condição x^2+y^2\le4 vira 0\le r\le2 e 0\le z\le6-r. O jacobiano é r. Logo
\iiint_{S}\sqrt{81 - x^2 - y^2 - z^2}\,dx\,dy\,dz =\int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{2} \int_{z=0}^{6 - r} \sqrt{\,81 - r^2 - z^2\,}\;r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Em coordenadas esféricas a condição z\ge0 implica \varphi\in[0,\tfrac\pi2]. A restrição cilíndrica r=\rho\sin\varphi\le2 \rho\le2\,\csc\varphi, e o teto z\le6-r vira
\rho\cos\varphi \;\le\;6 - \rho\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \rho\le\frac{6}{\sin\varphi+\cos\varphi}.
Assim em esféricas 0\le\rho\le\min\bigl(2\,\csc\varphi,\;6/(\sin\varphi+\cos\varphi)\bigr). O jacobiano é \rho^2\sin\varphi. Portanto
\iiint_{S}\sqrt{81 - x^2 - y^2 - z^2}\,dx\,dy\,dz =\int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\varphi=0}^{\tfrac\pi2} \int_{\rho=0}^{\min\!\bigl(2\,\csc\varphi,\;6/(\sin\varphi+\cos\varphi)\bigr)} \sqrt{\,81 - \rho^2\,}\;\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Resposta

Em coordenadas cilíndricas:
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{6 - r} \sqrt{81 - r^2 - z^2}\;r\,dz\,dr\,d\theta.
Em coordenadas esféricas:
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\tfrac\pi2}\!\int_{0}^{\min\!\bigl(2\csc\varphi,\;6/(\sin\varphi+\cos\varphi)\bigr)} \sqrt{81 - \rho^2}\;\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

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