Nos Exercícios de 24 a 28, ache um ponto na curva dada no qual a curvatura é um máximo absoluto.
y=6 x-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ponto da curva y=6x - x^{2} em que a curvatura é máxima absoluta. O conteúdo necessário é a fórmula da curvatura de uma curva dada por y=f(x):
\kappa(x)=\frac{\lvert y''(x)\rvert}{\bigl(1+[y'(x)]^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 2

Calcular as derivadas primeira e segunda de y:
y'(x)=\frac{d}{dx}(6x - x^{2})=6-2x,
y''(x)=\frac{d^{2}}{dx^{2}}(6x - x^{2})=-2.

Passo 3

Substituir em \kappa(x), lembrando que \lvert y''\rvert=2:
\kappa(x)=\frac{2}{\bigl(1+(6-2x)^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 4

Para maximizar \kappa(x) basta minimizar o denominador \bigl(1+(6-2x)^{2}\bigr)^{3/2}, ou seja minimizar (6-2x)^{2}. Logo
6-2x=0\quad\Longrightarrow\quad x=3.

Passo 5

Calcular y em x=3:
y(3)=6\cdot 3 - 3^{2}=18-9=9.
Portanto o ponto de curvatura máxima é (3,9).

Resposta

(3,9)

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