Mostre que a curvatura da catenária
num ponto qualquer
da curva é
. Trace a circunferência de curvatura em
. Mostre que a curvatura
é um máximo absoluto no ponto (
), sem se referir a
.
Passo 1
O enunciado nos dá a catenária
e pede:
- Mostrar que a curvatura
em um ponto genérico vale
- Traçar a circunferência de curvatura no ponto
. - Mostrar que
atinge seu máximo absoluto em sem usar .
Para isso, vamos usar a definição de curvatura de uma curva do tipo
:
Passo 2
Calculemos as derivadas de
.
Passo 3
Substituindo em
obtemos
Mas
, logo
Passo 4
No ponto
a curvatura vale
logo o raio de curvatura é
Para traçar a circunferência de curvatura, note que a catenária é convexa para cima e o centro da circunferência está a uma distância
ao longo da normal unitária voltada para cima. Assim, o centro é
e o raio é
. A equação da circunferência de curvatura é
Passo 5
Para mostrar que
tem máximo absoluto em
sem derivar
, observe que
com igualdade somente em
, pois
atinge seu mínimo igual a 1 em zero. Logo
é mínimo em
, e assim
é máximo em
.
Resposta
A curvatura da catenária é
A circunferência de curvatura em
tem centro em
e raio
, dada por
Como
,
atinge seu máximo absoluto
em
.