Mostre que a curvatura da catenária y=a \operatorname{cosh} (x / a) num ponto qualquer (x, y) da curva é a / y^{2}. Trace a circunferência de curvatura em (0, a). Mostre que a curvatura K é um máximo absoluto no ponto ( 0, a ), sem se referir a K^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a catenária
y = a \operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr)
e pede:
  1. Mostrar que a curvatura K em um ponto genérico (x,y) vale
K = \frac{a}{y^2}.
  1. Traçar a circunferência de curvatura no ponto (0,a).
  2. Mostrar que K atinge seu máximo absoluto em (0,a) sem usar K'(x).
Para isso, vamos usar a definição de curvatura de uma curva do tipo y=y(x):
K(x)=\frac{\lvert y''(x)\rvert}{\bigl(1+[y'(x)]^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 2

Calculemos as derivadas de y(x)=a\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr).
y'(x) = a\cdot\operatorname{sinh}\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr)\cdot\frac{1}{a} = \operatorname{sinh}\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr),
y''(x) = \frac{d}{dx}\operatorname{sinh}\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr) = \operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr)\cdot\frac{1}{a} = \tfrac{1}{a}\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr).

Passo 3

Substituindo em
K(x)=\frac{\lvert y''(x)\rvert}{\bigl(1+[y'(x)]^2\bigr)^{3/2}}
obtemos
K(x) = \frac{\frac{1}{a}\operatorname{cosh}\!\bigl(\frac{x}{a}\bigr)} {\bigl(1+\operatorname{sinh}^2\!\bigl(\frac{x}{a}\bigr)\bigr)^{3/2}} = \frac{\frac{1}{a}\operatorname{cosh}\!\bigl(\frac{x}{a}\bigr)} {\bigl(\operatorname{cosh}^2\!\bigl(\frac{x}{a}\bigr)\bigr)^{3/2}} = \frac{\frac{1}{a}\operatorname{cosh}\!\bigl(\frac{x}{a}\bigr)} {\operatorname{cosh}^3\!\bigl(\frac{x}{a}\bigr)} = \frac{1}{a\,\operatorname{cosh}^2\!\bigl(\frac{x}{a}\bigr)}.
Mas y = a\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr), logo
K(x) = \frac{1}{a}\,\frac{1}{\operatorname{cosh}^2(\tfrac{x}{a})} = \frac{a}{\bigl(a\operatorname{cosh}(\tfrac{x}{a})\bigr)^2} = \frac{a}{y^2}.

Passo 4

No ponto (0,a) a curvatura vale
K(0) = \frac{a}{a^2} = \frac{1}{a},
logo o raio de curvatura é
R = \frac{1}{K(0)} = a.
Para traçar a circunferência de curvatura, note que a catenária é convexa para cima e o centro da circunferência está a uma distância R ao longo da normal unitária voltada para cima. Assim, o centro é (0,a+R)=(0,2a) e o raio é a. A equação da circunferência de curvatura é
X^2 + (Y - 2a)^2 = a^2.

Passo 5

Para mostrar que K(x) tem máximo absoluto em x=0 sem derivar K, observe que
K(x) = \frac{a}{y^2} \quad\text{e}\quad y(x)=a\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr)\ge a
com igualdade somente em x=0, pois \operatorname{cosh} atinge seu mínimo igual a 1 em zero. Logo y^2 é mínimo em x=0, e assim a/y^2 é máximo em x=0.

Resposta

A curvatura da catenária é
K(x)=\frac{a}{y^2}.
A circunferência de curvatura em (0,a) tem centro em (0,2a) e raio a, dada por
X^2 + (Y - 2a)^2 = a^2.
Como \operatorname{cosh}(x/a)\ge1, K(x) atinge seu máximo absoluto \tfrac1a em x=0.

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