Nos Exercícios de 24 a 30, sejam
\begin{aligned} & A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & -1 \end{array}\right] \\\ & C=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ -3 & -1 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right] \end{aligned}
Em cada caso, encontre a matriz elementar E que satisfaça a equação dada.
E A=B

Passo 1

Temos as matrizes A e B definidas por
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}.
Queremos achar a matriz elementar E que satisfaça
E\,A = B.
O conteúdo aqui é matrizes elementares e operações elementares de linhas.

Passo 2

Vamos comparar as linhas de A e de B:
  • Em A, a 1ª linha é \,(1,2,-1), a 2ª é \,(1,1,1), a 3ª é \,(1,-1,0).
  • Em B, a 1ª linha é \,(1,-1,0), a 2ª é \,(1,1,1), a 3ª é \,(1,2,-1).
Note que
\text{linha}_1(B)=\text{linha}_3(A),\quad \text{linha}_2(B)=\text{linha}_2(A),\quad \text{linha}_3(B)=\text{linha}_1(A).
Logo, a operação de linha que leva A em B é trocar a linha 1 com a linha 3.

Passo 3

A matriz elementar que representa a troca das linhas 1 e 3 é obtida aplicando essa troca à matriz identidade I_3. Assim,
E = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Verificação:
E\,A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} = B.

Resposta

E = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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