Prove que, se uma matriz simétrica é invertível, sualiversa também é simétrica.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se uma matriz real
é simétrica (
) e invertível, então sua inversa
também satisfaz
. Vamos usar propriedades de transposta e de matrizes inversas.
Passo 2
Como
é invertível, existe
tal que
Tomando transposta em ambos os lados e usando
junto com
, obtemos
Passo 3
Como
é simétrica,
. Substituindo na última igualdade,
Multiplicando à esquerda por
, chega-se a
ou seja,
é simétrica.
Resposta
Concluímos que, se
é simétrica e invertível, então sua inversa
também é simétrica.