Prove que, se uma matriz simétrica é invertível, sualiversa também é simétrica.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se uma matriz real A é simétrica ( A^T = A) e invertível, então sua inversa A^{-1} também satisfaz (A^{-1})^T = A^{-1}. Vamos usar propriedades de transposta e de matrizes inversas.

Passo 2

Como A é invertível, existe A^{-1} tal que
A^{-1}A = I.
Tomando transposta em ambos os lados e usando (XY)^T = Y^T X^T junto com I^T = I, obtemos
(A^{-1}A)^T = I^T \quad\Longrightarrow\quad A^T\,(A^{-1})^T = I.

Passo 3

Como A é simétrica, A^T = A. Substituindo na última igualdade,
A\,(A^{-1})^T = I.
Multiplicando à esquerda por A^{-1}, chega-se a
(A^{-1})^T = A^{-1},
ou seja, A^{-1} é simétrica.

Resposta

Concluímos que, se A é simétrica e invertível, então sua inversa A^{-1} também é simétrica.

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