Nos exercícios 27 a 30, obtenha a expressão da transformação linear T a partir de sua matriz canônica. [T]=\left[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 1 \\\\ 0 & 3 & -2 \\\\ -1 & -2 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz canônica de T na base canônica de \mathbb{R}^3:
O objetivo é escrever a expressão de T atuando sobre um vetor genérico (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.
Passo 2
Lembrete importante e intuitivo: a matriz de uma transformação linear na base canônica tem as imagens dos vetores da base como colunas. Ou seja, se e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1), então
[T]=\big[\,T(e_1)\;T(e_2)\;T(e_3)\,\big],
onde cada coluna é T(e_i) escrita em coordenadas canônicas.
Passo 3
Extraindo as colunas da matriz dada (peguei estes vetores da matriz fornecida):
primeira coluna: \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix}, então T(e_1)=\big(1,0,-1\big).
segunda coluna: \begin{pmatrix}-2\\[2pt]3\\[2pt]-2\end{pmatrix}, então T(e_2)=\big(-2,3,-2\big).
terceira coluna: \begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\\[2pt]0\end{pmatrix}, então T(e_3)=\big(1,-2,0\big).]
Passo 4
Qualquer vetor genérico (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear das bases:
(x,y,z)=x\,e_1+y\,e_2+z\,e_3.
Como T é linear, vale
T(x,y,z)=x\,T(e_1)+y\,T(e_2)+z\,T(e_3).
Passo 5
Substituindo T(e_1), T(e_2) e T(e_3) e somando coordenada a coordenada: