Determine o vetor w resultante da aplicação da seguinte sequência de transformações lineares sobre o vetor v=(2,5) : reflexão em torno do eixo y; projeção ortogonal sobre o eixo x; rotação de 60^{\circ} no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado dá o vetor inicial v=(2,5) e pede o vetor w obtido aplicando, nessa ordem:
reflexão em torno do eixo y;
projeção ortogonal sobre o eixo x;
rotação de 60^\circ no sentido anti-horário.
Informações relevantes fornecidas:
vetor inicial: v=(2,5);
sequência das transformações (a ordem importa e deve ser respeitada);
ângulo da rotação: 60^\circ.
Passo 2
Entender cada transformação como uma matriz que age sobre vetores em \mathbb{R}^2. Quando aplicamos transformações lineares em sequência, representamos cada transformação por uma matriz e multiplicamos as matrizes na ordem correta: se aplicamos primeiro A, depois B, o resultado numa aplicação a v é B(Av) = (B A)v. Vou escrever as matrizes correspondentes a cada uma das três transformações.
Passo 3
Matriz da reflexão em torno do eixo y. Refletir em torno do eixo y inverte a coordenada x e mantém y. Assim, para um vetor (x,y) a imagem é (-x,y). A matriz correspondente (ela multiplica à esquerda o vetor coluna) é
Montar a composição total. Aplicando na ordem indicada (primeiro reflexão R_y, depois projeção P_x, por fim rotação R_{60}), o operador total T tem matriz
T = R_{60}\,P_x\,R_y.
Vou calcular passo a passo primeiro as ações sobre v e depois, para checar, calcular a matriz T.