Determine o vetor w resultante da aplicação da seguinte sequência de transformações lineares sobre o vetor v=(2,5) : reflexão em torno do eixo y; projeção ortogonal sobre o eixo x; rotação de 60^{\circ} no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado dá o vetor inicial v=(2,5) e pede o vetor w obtido aplicando, nessa ordem:
  • reflexão em torno do eixo y;
  • projeção ortogonal sobre o eixo x;
  • rotação de 60^\circ no sentido anti-horário.
Informações relevantes fornecidas:
  • vetor inicial: v=(2,5);
  • sequência das transformações (a ordem importa e deve ser respeitada);
  • ângulo da rotação: 60^\circ.

Passo 2

Entender cada transformação como uma matriz que age sobre vetores em \mathbb{R}^2. Quando aplicamos transformações lineares em sequência, representamos cada transformação por uma matriz e multiplicamos as matrizes na ordem correta: se aplicamos primeiro A, depois B, o resultado numa aplicação a v é B(Av) = (B A)v. Vou escrever as matrizes correspondentes a cada uma das três transformações.

Passo 3

Matriz da reflexão em torno do eixo y. Refletir em torno do eixo y inverte a coordenada x e mantém y. Assim, para um vetor (x,y) a imagem é (-x,y). A matriz correspondente (ela multiplica à esquerda o vetor coluna) é
R_y=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Verificação rápida: R_y(2,5)^\top = (-2,5)^\top.]

Passo 4

Matriz da projeção ortogonal sobre o eixo x. Projetar ortogonalmente sobre o eixo x envia (x,y) em (x,0). A matriz que faz isso é
P_x=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Propriedade útil: P_x é idempotente, ou seja P_x^2=P_x, porque projetar duas vezes é o mesmo que projetar uma vez.]

Passo 5

Matriz da rotação de 60^\circ no sentido anti-horário. A matriz de rotação de um ângulo \theta (no sentido anti-horário) é
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\[4pt] \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Para \theta=60^\circ temos \cos60^\circ=\tfrac{1}{2} e \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Então
R_{60}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2} \\[6pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Montar a composição total. Aplicando na ordem indicada (primeiro reflexão R_y, depois projeção P_x, por fim rotação R_{60}), o operador total T tem matriz
T = R_{60}\,P_x\,R_y.
Vou calcular passo a passo primeiro as ações sobre v e depois, para checar, calcular a matriz T.

Passo 7

Aplicação direta passo a passo no vetor v.
  1. Reflexão: calcular R_y v.
R_y v = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[4pt] 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\[4pt] 5\end{pmatrix}.
  1. Projeção sobre o eixo x: aplicar P_x ao resultado anterior.
P_x(R_y v) = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\\[4pt] 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
  1. Rotação de 60^\circ ao vetor (-2,0): aplicar R_{60}.
R_{60}\begin{pmatrix}-2\\[4pt] 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2} \\[6pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2\\[4pt] 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\cdot(-2) + \left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot 0 \\[6pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot(-2) + \tfrac{1}{2}\cdot 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\[6pt] -\sqrt{3}\end{pmatrix}.
Portanto, seguindo passo a passo, o vetor final é \begin{pmatrix}-1\\[4pt]-\sqrt{3}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação calculando a matriz composta T e aplicando-a a v.
Primeiro calcule P_x R_y:
P_x R_y = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Agora calcule T=R_{60}(P_x R_y):
T = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2} \\[6pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & 0 \\[6pt] -\tfrac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{pmatrix}.
Aplicando T a v:
Tv = \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & 0 \\[6pt] -\tfrac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\[4pt] 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\cdot 2 + 0\cdot 5 \\[6pt] -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2 + 0\cdot 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\[6pt] -\sqrt{3}\end{pmatrix},
que coincide com o resultado passo a passo. Boa checagem!]

Resposta

\displaystyle w=\begin{pmatrix}-1\\[6pt]-\sqrt{3}\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados