Nos Exercícios 27-38, determine a integral indefinida e verifique seu resultado por derivação.
\int \frac{1}{x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{1}{x^{4}}\,dx
que é um caso de integração de potências de x. Vamos usar a regra de potência para integrar termos da forma x^n.

Passo 2

Reescrevemos o integrando em forma de potência negativa:
\frac{1}{x^{4}} = x^{-4}.
Assim podemos aplicar a fórmula
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1.

Passo 3

No nosso caso n = -4, logo n+1 = -3. Aplicando a regra:
\int x^{-4}\,dx = \frac{x^{-3}}{-3} + C.

Passo 4

Simplificando \tfrac{x^{-3}}{-3} obtemos
-\frac{1}{3}\,x^{-3} = -\frac{1}{3x^3}.

Passo 5

Verificação por derivação:
\frac{d}{dx}\Bigl(-\tfrac{1}{3}x^{-3}\Bigr) = -\tfrac{1}{3}\,\bigl(-3\bigr)\,x^{-4} = x^{-4} = \frac{1}{x^4},
que coincide com o integrando original.

Resposta

\int \frac{1}{x^{4}}\,dx = -\frac{1}{3x^3} + C.

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