Nos Exercícios 27-38, determine a integral indefinida e verifique seu resultado por derivação.
\int\left(\sqrt[4]{x^{3}}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(\sqrt[4]{x^{3}}+1\bigr)\,dx
Aplicaremos a regra de potência para integrais, que diz
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Escrevemos a raiz em forma de potência e separamos a integral em duas parcelas:
\sqrt[4]{x^{3}} = x^{3/4},
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\int\bigl(x^{3/4}+1\bigr)\,dx = \int x^{3/4}\,dx + \int 1\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra de potência à primeira parcela:
\int x^{3/4}\,dx = \frac{x^{3/4 + 1}}{3/4 + 1} = \frac{x^{7/4}}{7/4} = \frac{4}{7}\,x^{7/4}.
E à segunda parcela:
\int 1\,dx = x.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a antiderivada:
F(x) = \frac{4}{7}\,x^{7/4} + x + C.

Passo 5

Verificação por derivação:
F'(x) = \frac{4}{7}\cdot\frac{7}{4}\,x^{7/4 - 1} + 1 = x^{3/4} + 1,
que é exatamente o integrando original.

Resposta

\int\bigl(\sqrt[4]{x^{3}}+1\bigr)\,dx = \frac{4}{7}\,x^{7/4} + x + C.

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