Nos exercícios 31-38, determine a primeira e a segunda derivadas.
 
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a primeira e a segunda derivadas da função 
 . Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente aplicando regras de derivação para funções que são produtos de outras funções. Para resolver, vamos precisar utilizar a regra do produto e conhecer como derivar funções exponenciais e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função 
 . A função dada é um produto de 
  e 
 , então usaremos a regra do produto para derivar.
Passo 3
A regra do produto diz que se você tem uma função 
 , então a derivada de 
  em relação a 
  é:
Aqui, 
  e 
 .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de 
  e 
 :
Agora, aplicando a regra do produto:
Passo 5
Podemos simplificar a expressão da primeira derivada fatorando 
 :
Passo 6
Agora, vamos encontrar a segunda derivada 
 . Para isso, derivaremos 
 . Novamente, 
  é um produto de 
  e 
 , então usaremos a regra do produto mais uma vez.
Passo 7
Primeiro, identifiquemos as partes:
Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do produto para 
 :
Passo 8
Vamos simplificar a expressão da segunda derivada:
Explicando o termo dentro dos colchetes:
Então:
Resposta
A primeira derivada da função é:
E a segunda derivada é: