Nos Exercícios de 34 a 39, encontre a dimensão do espaço yetorial V e dê uma base para V.
V=\left\{p(x)\right. em \left.\mathscr{P}_{2}: p(0)=0\right\}

Passo 1

O enunciado diz que
V = \{\,p(x)\in\mathscr{P}_{2} \mid p(0)=0\},
ou seja, estamos olhando o subespaço dos polinômios de grau no máximo 2 que se anulam em x=0. Para resolver, vamos usar a forma geral de um polinômio em \mathscr{P}_{2} e impor a condição p(0)=0.

Passo 2

Um polinômio genérico de \mathscr{P}_{2} pode ser escrito como
p(x) = a\,x^2 + b\,x + c,
com constantes a,b,c\in\mathbb{R}. A condição p(0)=0 significa simplesmente:
p(0) = a\cdot0^2 + b\cdot0 + c = c = 0.

Passo 3

Como c=0, todo p(x)\in V tem a forma
p(x) = a\,x^2 + b\,x,
com a,b\in\mathbb{R}. Ou seja, qualquer elemento de V é combinação linear de x e x^2.

Passo 4

Isso mostra que \{x,\,x^2\} gera V e, além disso, x e x^2 são linearmente independentes. Logo:
– Uma base natural de V é \{x,\,x^2\}.
– A dimensão de V é o número de vetores dessa base, ou seja, \dim V = 2.

Resposta

\dim V = 2
Uma base para V é \{\,x,\;x^2\}.

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