Determine se o conjunto
é espaço vetorial
.
Passo 1
O enunciado apresenta o espaço vetorial
dos polinômios de grau
(denotado por
) e o subconjunto
Pergunta-se se
é base de
. Para isso, precisamos verificar os dois critérios de base em espaços vetoriais finito-dimensionais:
- Independência linear de
. - Geração de
por .
Passo 2
Verificar independência linear. Suponha que existam escalares
tais que
é o polinômio nulo. Isso significa
Das duas últimas igualdades vem
, e então da primeira
. Concluímos que só a combinação trivial anula os vetores, logo
é linearmente independente.
Passo 3
Verificar geração de
. Um polinômio genérico em
é
Se ele fosse gerado por
, existiríam
tais que
deveria coincidir com
. Isso impõe
As duas últimas dão
e
. Para haver solução, é preciso
. Nem todo polinômio de
satisfaz essa relação (por exemplo,
tem
), logo
não gera todo
.