Determine se o conjunto \mathcal{B} é espaço vetorial V.
\{1,1+2 x+3 x^{2}\}

Passo 1

O enunciado apresenta o espaço vetorial V dos polinômios de grau <=2 (denotado por \mathcal P_2) e o subconjunto
\mathcal B = \{\,1,\;1 + 2x + 3x^2\}.
Pergunta-se se \mathcal B é base de V. Para isso, precisamos verificar os dois critérios de base em espaços vetoriais finito-dimensionais:
  1. Independência linear de \mathcal B.
  2. Geração de V por \mathcal B.

Passo 2

Verificar independência linear. Suponha que existam escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
a\cdot 1 \;+\; b\,(1 + 2x + 3x^2) \;=\; 0
é o polinômio nulo. Isso significa
a + b = 0,\quad 2b = 0,\quad 3b = 0.
Das duas últimas igualdades vem b=0, e então da primeira a=0. Concluímos que só a combinação trivial anula os vetores, logo \mathcal B é linearmente independente.

Passo 3

Verificar geração de \mathcal P_2. Um polinômio genérico em V é
p(x) = \alpha + \beta x + \gamma x^2.
Se ele fosse gerado por \mathcal B, existiríam c_1,c_2 tais que
c_1\cdot 1 \;+\; c_2\,(1 + 2x + 3x^2) =\bigl(c_1 + c_2\bigr) \;+\; 2c_2\,x \;+\; 3c_2\,x^2
deveria coincidir com \alpha + \beta x + \gamma x^2. Isso impõe
c_1 + c_2 = \alpha,\quad 2c_2 = \beta,\quad 3c_2 = \gamma.
As duas últimas dão c_2 = \beta/2 e c_2 = \gamma/3. Para haver solução, é preciso \beta/2 = \gamma/3. Nem todo polinômio de V satisfaz essa relação (por exemplo, x tem \beta=1,\gamma=0), logo \mathcal B não gera todo V.

Resposta

\mathcal B é linearmente independente, mas não gera V. Portanto, \mathcal B não é base de V.

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