Nos Exercícios de 39 a 42, ache as coordenadas do centro de curvatura num ponto qualquer.
\mathbf{R}(t)=a \cos t \mathbf{i}+b \operatorname{sen} t \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\mathbf{R}(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\bigl(a\cos t,\;b\sin t\bigr)
e pede as coordenadas do centro de curvatura em um ponto genérico. Para isso usamos a fórmula geral
X(t)=x(t)-\frac{y'(t)\bigl[x'(t)^2+y'(t)^2\bigr]}{x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)}, \quad Y(t)=y(t)+\frac{x'(t)\bigl[x'(t)^2+y'(t)^2\bigr]}{x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)}.

Passo 2

Calculemos as derivadas de primeira e segunda ordem:
x'(t)=-a\sin t,\quad y'(t)=b\cos t, \quad x''(t)=-a\cos t,\quad y''(t)=-b\sin t.

Passo 3

O determinante do denominador é
D = x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t) =(-a\sin t)(-b\sin t)-(b\cos t)(-a\cos t) =ab(\sin^2t+\cos^2t)=ab.

Passo 4

A velocidade ao quadrado vale
v^2 = x'(t)^2+y'(t)^2 = a^2\sin^2t + b^2\cos^2t.

Passo 5

Agora o coordenada X do centro de curvatura:
X = a\cos t \;-\;\frac{b\cos t\,[\,a^2\sin^2t + b^2\cos^2t\,]}{ab} = a\cos t - \frac{\cos t\,(a^2\sin^2t + b^2\cos^2t)}{a} = \frac{(a^2 - b^2)\,\cos^3t}{a}.

Passo 6

E a coordenada Y do centro de curvatura:
Y = b\sin t \;+\;\frac{-a\sin t\,[\,a^2\sin^2t + b^2\cos^2t\,]}{ab} = b\sin t - \frac{\sin t\,(a^2\sin^2t + b^2\cos^2t)}{b} = \frac{(b^2 - a^2)\,\sin^3t}{b}.

Resposta

\boxed{ \bigl(X(t),Y(t)\bigr) =\Bigl(\frac{a^2 - b^2}{a}\,\cos^3t \;,\; \frac{b^2 - a^2}{b}\,\sin^3t\Bigr). }

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