Nos Exercícios de 39 a 42, ache as coordenadas do centro de curvatura num ponto qualquer.
\mathbf{R}(t)=a \cos ^{3} t \mathbf{i}+a \operatorname{sen}^{3} t \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\mathbf{R}(t)=a\cos^{3}t\,\mathbf{i}+a\sin^{3}t\,\mathbf{j}
e pede o centro de curvatura num ponto genérico t. Para isso, vamos usar o método clássico para curvas planas y=y(x): calculamos \displaystyle y'=\frac{dy}{dx} e \displaystyle y''=\frac{d^2y}{dx^2} e então aplicamos as fórmulas
X_c = x - \frac{y'\,(1+y'^2)}{y''}, \quad Y_c = y + \frac{1+y'^2}{y''}.

Passo 2

Da parametrização temos
x = a\cos^3 t,\quad y = a\sin^3 t.
Derivando em relação a t:
x' = \frac{dx}{dt} = -3a\cos^2 t\,\sin t, \quad y' = \frac{dy}{dt} = 3a\sin^2 t\,\cos t.
Logo
\frac{dy}{dx} = \frac{y'}{x'} = \frac{3a\sin^2 t\,\cos t}{-3a\cos^2 t\,\sin t} = -\tan t,
e
1 + \Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^2 = 1 + \tan^2 t = \operatorname{sec}^2 t.

Passo 3

Derivamos \displaystyle y'=-\tan t em relação a t:
\frac{d}{dt}(-\tan t) = -\operatorname{sec}^2 t.
Como
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}(y')}{\frac{dx}{dt}} = \frac{-\operatorname{sec}^2 t}{-3a\cos^2 t\,\sin t} = \frac{\operatorname{sec}^2 t}{3a\cos^2 t\,\sin t} = \frac{1}{3a\cos^4 t\,\sin t}.

Passo 4

Aplicamos as fórmulas do centro de curvatura:
X_c = x - \frac{y'\,(1+y'^2)}{y''}, \quad Y_c = y + \frac{1+y'^2}{y''}.
Substituindo \displaystyle x=a\cos^3 t, \displaystyle y'=-\tan t, \displaystyle 1+y'^2=\operatorname{sec}^2 t
e \displaystyle y''=\tfrac{1}{3a\cos^4 t\,\sin t},
obtemos
X_c = a\cos^3 t - \frac{-\tan t\,\operatorname{sec}^2 t}{\tfrac{1}{3a\cos^4 t\,\sin t}}, \quad Y_c = a\sin^3 t + \frac{\operatorname{sec}^2 t}{\tfrac{1}{3a\cos^4 t\,\sin t}}.

Passo 5

Vamos simplificar:
\frac{-\tan t\,\operatorname{sec}^2 t}{\tfrac{1}{3a\cos^4 t\,\sin t}} = -\tan t\,\operatorname{sec}^2 t\times 3a\cos^4 t\,\sin t = -3a\,\sin^2 t\cos t,
portanto
X_c = a\cos^3 t + 3a\sin^2 t\,\cos t = a\cos t\bigl(\cos^2 t + 3\sin^2 t\bigr).
E
\frac{\operatorname{sec}^2 t}{\tfrac{1}{3a\cos^4 t\,\sin t}} = \operatorname{sec}^2 t\times 3a\cos^4 t\,\sin t = 3a\,\cos^2 t\,\sin t,
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Y_c = a\sin^3 t + 3a\cos^2 t\,\sin t = a\sin t\bigl(3\cos^2 t + \sin^2 t\bigr).

Resposta

X_c = a\cos t\bigl(\cos^2 t + 3\sin^2 t\bigr), \quad Y_c = a\sin t\bigl(3\cos^2 t + \sin^2 t\bigr).

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