Nos Exercícios de 39 a 42, ache as coordenadas do centro de curvatura num ponto qualquer.
y^{2}=4 p x

Passo 1

Temos a parábola definida por
y^{2}=4p\,x
e queremos as coordenadas do centro de curvatura num ponto genérico P(x_{0},y_{0}) dessa curva.
O que vamos usar:
  1. Derivadas implícitas para obter y'=\tfrac{dy}{dx} e y''=\tfrac{d^{2}y}{dx^{2}}.
  2. A fórmula do centro de curvatura para uma curva no plano dada por y=y(x), que é
X \;=\; x \;-\;\frac{y'\,\bigl(1+(y')^{2}\bigr)}{y''}, \qquad Y \;=\; y \;+\;\frac{1+(y')^{2}}{y''}\,.

Passo 2

Diferenciando y^{2}=4p\,x em relação a x:
2y\,y' =4p \quad\Longrightarrow\quad y'=\frac{2p}{y}.
A segunda derivada é
y'' = \frac{d}{dx}\!\Bigl(\tfrac{2p}{y}\Bigr) = -\,\frac{2p}{y^{2}}\;y' = -\,\frac{2p}{y^{2}}\;\frac{2p}{y} = -\,\frac{4p^{2}}{y^{3}}.

Passo 3

Calculamos agora
1+(y')^{2} =1+\Bigl(\tfrac{2p}{y}\Bigr)^{2} =1+\frac{4p^{2}}{y^{2}} =\frac{y^{2}+4p^{2}}{y^{2}} =\frac{4p\,x_{0}+4p^{2}}{y^{2}} =\frac{4p\,(x_{0}+p)}{y^{2}}.

Passo 4

Usando a fórmula do centro de curvatura, temos
X \;=\; x_{0} \;-\; \frac{y'\,\bigl(1+(y')^{2}\bigr)}{y''} \;=\; x_{0} \;-\; \frac{\displaystyle\frac{2p}{y_{0}}\;\cdot\;\displaystyle\frac{4p\,(x_{0}+p)}{y_{0}^{2}}} {\displaystyle -\,\frac{4p^{2}}{y_{0}^{3}}} \;=\; x_{0} -\,\frac{8p^{2}(x_{0}+p)/y_{0}^{3}}{-4p^{2}/y_{0}^{3}} \;=\; x_{0}+2(x_{0}+p) \;=\; 3x_{0}+2p,
Y \;=\; y_{0} \;+\; \frac{1+(y')^{2}}{y''} \;=\; y_{0} \;+\; \frac{\displaystyle\frac{4p\,(x_{0}+p)}{y_{0}^{2}}} {\displaystyle -\,\frac{4p^{2}}{y_{0}^{3}}} \;=\; y_{0} -\; \frac{4p(x_{0}+p)/y_{0}^{2}}{4p^{2}/y_{0}^{3}} \;=\; y_{0} -\; \frac{y_{0}(x_{0}+p)}{p} \;=\; -\frac{x_{0}\,y_{0}}{p}.

Resposta

As coordenadas do centro de curvatura em P(x_{0},y_{0}), com y_{0}^{2}=4p\,x_{0}, são
\boxed{ \bigl(X,Y\bigr) =\Bigl(3x_{0}+2p,\;-\tfrac{x_{0}\,y_{0}}{p}\Bigr). }

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