Nos Exercícios de 39 a 42, ache as coordenadas do centro de curvatura num ponto qualquer.
y^{3}=a^{2} x

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas do centro de curvatura, num ponto genérico (x,y), da curva definida por
y^{3}=a^{2}x.
O conteúdo usado será cálculo de derivadas para obter y' e y'', e em seguida aplicação da fórmula do centro de curvatura para uma curva dada por y=y(x):
X = x - \frac{y'\,\bigl(1+(y')^{2}\bigr)}{y''}, \quad Y = y + \frac{1+(y')^{2}}{y''}.

Passo 2

Como y^{3}=a^{2}x, escrevemos
x = \frac{y^{3}}{a^{2}},
de onde
\frac{dx}{dy} = \frac{3y^{2}}{a^{2}} \quad\Longrightarrow\quad y'=\frac{dy}{dx}=\frac{a^{2}}{3y^{2}}.
Em seguida,
y''=\frac{d}{dx}\biggl(\frac{a^{2}}{3y^{2}}\biggr) =\frac{d}{dy}\Bigl(\frac{a^{2}}{3y^{2}}\Bigr)\cdot\frac{dy}{dx} =-\frac{2a^{2}}{3y^{3}}\;\frac{a^{2}}{3y^{2}} =-\frac{2a^{4}}{9y^{5}}.

Passo 3

Calculemos os términos recorrentes
1+(y')^{2} =1+\frac{a^{4}}{9y^{4}} =\frac{9y^{4}+a^{4}}{9y^{4}},
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\frac{1+(y')^{2}}{y''} =\frac{\frac{9y^{4}+a^{4}}{9y^{4}}}{-\frac{2a^{4}}{9y^{5}}} =-\frac{y\bigl(9y^{4}+a^{4}\bigr)}{2a^{4}},
e
y'\,\frac{1+(y')^{2}}{y''} =\frac{a^{2}}{3y^{2}}\;\Bigl(-\frac{y(9y^{4}+a^{4})}{2a^{4}}\Bigr) =-\frac{9y^{4}+a^{4}}{6a^{2}y}.

Passo 4

Substituindo na fórmula do centro de curvatura:
X = x - \Bigl(y'\,\frac{1+(y')^{2}}{y''}\Bigr) = \frac{y^{3}}{a^{2}} + \frac{9y^{4}+a^{4}}{6a^{2}y},
Y = y + \frac{1+(y')^{2}}{y''} = y - \frac{y\bigl(9y^{4}+a^{4}\bigr)}{2a^{4}}.

Passo 5

Bastando simplificar em cada caso obtemos
X = \frac{6y^{4}+9y^{4}+a^{4}}{6a^{2}y} =\frac{15y^{4}+a^{4}}{6a^{2}y},
Y = \frac{2a^{4}y - y(9y^{4}+a^{4})}{2a^{4}} =\frac{a^{4}y -9y^{5}}{2a^{4}} =\frac{y\,(a^{4}-9y^{4})}{2a^{4}}.

Resposta

As coordenadas do centro de curvatura, em função de y (onde y^{3}=a^{2}x), são
X = \frac{15y^{4}+a^{4}}{6a^{2}y}, \quad Y = \frac{y\,(a^{4}-9y^{4})}{2a^{4}}.

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