Nos Exercícios 39-44, use uma ferramenta de integração simbólica para determinar a integral indefinida.
\int u\left(3 u^{2}+1\right) d u

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int u\bigl(3u^{2}+1\bigr)\,du.
Este é um caso de integração de polinômios. Vamos usar a regra da potência \displaystyle \int u^n\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}
e a linearidade da integral.

Passo 2

Expandimos o integrando:
u\bigl(3u^{2}+1\bigr) = 3u^{3} + u,
de modo que
\int u\bigl(3u^{2}+1\bigr)\,du = \int\bigl(3u^{3}+u\bigr)\,du = 3\int u^{3}\,du \;+\;\int u\,du.

Passo 3

Aplicando a regra da potência a cada termo:
3\int u^{3}\,du = 3\cdot\frac{u^{4}}{4} = \frac{3u^{4}}{4}, \qquad \int u\,du = \frac{u^{2}}{2}.
Somando e adicionando a constante de integração C, fica
\int u\bigl(3u^{2}+1\bigr)\,du = \frac{3u^{4}}{4} + \frac{u^{2}}{2} + C.

Resposta

\frac{3u^{4}}{4} + \frac{u^{2}}{2} + C

Exercícios relacionados