Nos Exercícios 39-44, use uma ferramenta de integração simbólica para determinar a integral indefinida.
\int\left(2 t^{2}-1\right)^{2} d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função (2t^{2}-1)^{2}. O conteúdo é integração de polinômio; vamos expandir o quadrado para obter um polinômio simples e depois usar a regra de potência para integrar termo a termo.

Passo 2

Expandimos o integrando:
(2t^{2}-1)^{2} = (2t^{2})^{2} - 2 \cdot 2t^{2} \cdot 1 + 1^{2} = 4t^{4} - 4t^{2} + 1.

Passo 3

Substituímos na integral:
\int (2t^{2}-1)^{2}\,dt = \int \bigl(4t^{4} - 4t^{2} + 1\bigr)\,dt = \int 4t^{4}\,dt \;-\; \int 4t^{2}\,dt \;+\; \int 1\,dt.

Passo 4

Aplicamos a regra de potência \int t^{n}dt = \tfrac{t^{n+1}}{n+1}:
\int 4t^{4}\,dt = 4 \cdot \frac{t^{5}}{5} = \frac{4}{5}t^{5},
\int 4t^{2}\,dt = 4 \cdot \frac{t^{3}}{3} = \frac{4}{3}t^{3},
\int 1\,dt = t.

Passo 5

Combinando os resultados e lembrando da constante de integração C, temos
\int (2t^{2}-1)^{2}\,dt = \frac{4}{5}t^{5} - \frac{4}{3}t^{3} + t + C.

Resposta

\frac{4}{5}t^{5} \;-\; \frac{4}{3}t^{3} \;+\; t + C.

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