Nos Exercícios de 48 a 63, use o método de Gauss-Jordall para achar a inversa da matriz dada (se existir).
\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] sobre \mathbb{Z}_{2}

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[6pt] 1 & 1\end{pmatrix}
sobre o corpo \mathbb{Z}_{2}, usando o método de Gauss–Jordan. Vamos trabalhar com operações de linha em módulo 2 (isto é, somas e trocas de linhas, sempre reduzindo coeficientes em \{0,1\} com soma módulo 2).]

Passo 2

Formamos a matriz aumentada \bigl[A \mid I\bigr]:
\left[\begin{array}{cc|cc} 0 & 1 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 3

Precisamos de pivô unitário em (1,1). Como a_{11}=0, permutamos linha 1 com linha 2 (troca de linhas não altera nada exceto o sinal, mas em \mathbb{Z}_2 sinal é irrelevante):
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora o elemento abaixo do pivô em (2,1) já é zero, então seguimos para o segundo pivô em (2,2), que é 1. Eliminamos o 1 em posição (1,2) somando (módulo 2) a linha 2 à linha 1:
\text{L}_1 \;\longleftarrow\;\text{L}_1 + \text{L}_2 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & (0+1) & (1+0) \\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right].]

Passo 5

À esquerda temos agora a matriz identidade I. Logo, à direita está a inversa de A. Assim,
A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} \quad\text{em }\mathbb{Z}_{2}.]

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}]

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