Nos Exercícios de 48 a 63, use o método de Gauss-Jordall para achar a inversa da matriz dada (se existir).
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\ a & b & c & d\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\ a & b & c & d \end{pmatrix}
usando o método de Gauss–Jordan. Vamos montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares para chegar em [I\mid A^{-1}].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\\ a & b & c & d & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminamos os elementos a,b,c da quarta linha usando combinações das três primeiras linhas:
R_{4}\leftarrow R_{4}-a\,R_{1}-b\,R_{2}-c\,R_{3}.
O resultado é
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & d & -a & -b & -c & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Agora fazemos o pivô na posição (4,4) igual a 1, dividindo a quarta linha por d (assumindo d\neq0):
R_{4}\leftarrow \frac{1}{d}\,R_{4} \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -\tfrac{a}{d} & -\tfrac{b}{d} & -\tfrac{c}{d} & \tfrac{1}{d} \end{array}\right].
Como não há mais entradas fora da diagonal principal nas primeiras quatro colunas, a parte direita é exatamente A^{-1}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ -\tfrac{a}{d} & -\tfrac{b}{d} & -\tfrac{c}{d} & \tfrac{1}{d} \end{pmatrix}, \quad\text{desde que }d\neq0.

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