Nos Exercícios de 48 a 63, use o método de Gauss-Jordall para achar a inversa da matriz dada (se existir).
\left[\begin{array}{ll}4 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right] sobre \mathbb{Z}_{5}

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}4 & 2\\\ 3 & 4\end{pmatrix}
e pede a inversa sobre \mathbb{Z}_{5} usando o método de Gauss–Jordan. Vamos montar a matriz aumentada [A\mid I] e fazer operações linha válidas em módulo 5 para tentar chegar a [I\mid A^{-1}].

Passo 2

Formamos a matriz aumentada inicial em \mathbb{Z}_{5}:
[A\mid I] = \begin{pmatrix} 4 & 2 & \mid & 1 & 0\\\\ 3 & 4 & \mid & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O pivô na primeira linha e primeira coluna é 4. Em \mathbb{Z}_{5}, o inverso de 4 é 4 (pois 4\cdot4=16\equiv1). Multiplicamos a linha 1 por 4 módulo 5:
\text{L1}\leftarrow4\cdot\text{L1}: \quad \begin{pmatrix} 1 & 2\cdot4=8\equiv3 &\mid& 1\cdot4=4 & 0\\\\ 3 & 4 &\mid& 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 &\mid& 4 & 0\\\\ 3 & 4 &\mid& 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Zeramos o elemento abaixo do pivô (posição (2,1)) que vale 3. Fazemos
\text{L2}\leftarrow\text{L2}-3\cdot\text{L1}
em módulo 5:
  • Coluna 1: 3 - 3\cdot1 = 0.
  • Coluna 2: 4 - 3\cdot3 = 4 - 9 = -5\equiv0\pmod5.
  • Acompanhando o bloco da direita:
    \;0 - 3\cdot4 = -12\equiv3,
    \;1 - 3\cdot0 = 1.
    Fica
\begin{pmatrix} 1 & 3 &\mid& 4 & 0\\\\ 0 & 0 &\mid& 3 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Na segunda linha, as entradas da parte esquerda são todas zero, mas a parte direita é (3\;1), o que gera um sistema inconsistente ao tentar alcançar [I\mid *]. Isso significa que não há como completar a redução a [I\mid A^{-1}]. Em outras palavras, \det(A)=4\cdot4-2\cdot3=16-6=10\equiv0\pmod5, logo A é singular em \mathbb{Z}_{5} e não admite inversa.

Resposta

A matriz não é invertível em \mathbb{Z}_{5}.

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