Nos Exercícios de 48 a 63, use o método de Gauss-Jordall para achar a inversa da matriz dada (se existir).
\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 2 & 1\end{array}\right] sobre \mathbb{Z}_{3}

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 2\\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}
sobre o corpo \mathbb{Z}_3, usando o método de Gauss–Jordan. Vamos montar a matriz aumentada [A\mid I] e fazer operações de linha em \mathbb{Z}_3.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada [A\mid I] sobre \mathbb{Z}_3:
[A \mid I] = \left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 3

Queremos pivô 1 na posição (1,1). Como 2^{-1}\equiv2\pmod3, fazemos
R_1 \leftarrow 2\,R_1: \quad \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Eliminamos abaixo do pivô em (1,1):
R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\; R_3 \text{ fica igual}
em \mathbb{Z}_3, obtendo
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 2 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 5

Agora o pivô em (2,2) vale 2, e 2^{-1}\equiv2. Façamos
R_2 \leftarrow 2\,R_2: \quad \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 0\\\\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 6

Eliminamos acima e abaixo do pivô em (2,2):
R_1 \leftarrow R_1 - 2\,R_2,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 2\,R_2.
Em \mathbb{Z}_3 isso dá
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2 & 1 \end{array}\right].

Passo 7

O pivô em (3,3) vale 2, então normalizamos:
R_3 \leftarrow 2\,R_3: \quad \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right].

Passo 8

Eliminamos acima do pivô em (3,3):
R_1 \leftarrow R_1 - R_3,\quad R_2 \leftarrow R_2 - R_3,
ficando
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right].

Passo 9

Agora a parte esquerda é a identidade I_3. Logo, a parte direita é A^{-1} em \mathbb{Z}_3:
A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}

Exercícios relacionados