Nos Exercícios de 48 a 63, use o método de Gauss-Jordall para achar a inversa da matriz dada (se existir).
\left[\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\\\ 1 & a & 0 \\\\ 0 & 1 & a\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para inverter a matriz
A = \begin{pmatrix} a & 0 & 0\\\\ 1 & a & 0\\\\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}
usando o método de Gauss–Jordan. Para que ela seja invertível, precisamos de a \neq 0. Vamos montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares de linha até obter [I\mid A^{-1}].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} a & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & a & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & a & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 3

Pivot na posição (1,1): escalonamos a linha 1 e eliminamos abaixo.
\text{R1}\gets\frac{1}{a}\,\text{R1} \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{a} & 0 & 0\\\\ 1 & a & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & a & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\text{R2}\gets\text{R2}-\text{R1} \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{a} & 0 & 0\\\\ 0 & a & 0 & -\tfrac{1}{a} & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & a & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Pivot na posição (2,2): escalonamos a linha 2 e eliminamos abaixo.
\text{R2}\gets\frac{1}{a}\,\text{R2} \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{a} & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{a^2} & \tfrac{1}{a} & 0\\\\ 0 & 1 & a & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\text{R3}\gets\text{R3}-\text{R2} \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{a} & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{a^2} & \tfrac{1}{a} & 0\\\\ 0 & 0 & a & \tfrac{1}{a^2} & -\tfrac{1}{a} & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Pivot na posição (3,3): escalonamos a linha 3 e eliminamos acima (aqui não há entradas não nulas acima de (3,3) nas colunas 3).
\text{R3}\gets\frac{1}{a}\,\text{R3} \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{a} & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{a^2} & \tfrac{1}{a} & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{a^3} & -\tfrac{1}{a^2} & \tfrac{1}{a} \end{pmatrix}.

Resposta

A inversa é
A^{-1} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{a} & 0 & 0 \\[6pt] -\dfrac{1}{a^2} & \dfrac{1}{a} & 0 \\[6pt] \dfrac{1}{a^3} & -\dfrac{1}{a^2} & \dfrac{1}{a} \end{pmatrix},\quad a\neq 0.]

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