Nos Exercícios 51-54, use uma integral definida para determinar a área da região entre a curva dada e o eixo x no intervalo [0,1].
y=\frac{x}{2}+1

Passo 1

O enunciado pede a área da região sob a reta \;y = \tfrac{x}{2} + 1\; acima do eixo x no intervalo [0,1]. Vamos usar o conceito de área sob curva por meio de integral definida.

Passo 2

A área A corresponde à integral de \tfrac{x}{2}+1 de 0 a 1:
A = \int_{0}^{1} \bigl(\tfrac{x}{2} + 1\bigr)\,dx.

Passo 3

Para resolver a integral, encontramos uma antiderivada de \tfrac{x}{2}+1. Sabemos que
– a antiderivada de \tfrac{x}{2} é \tfrac{x^2}{4},
– a antiderivada de 1 é x.
Logo,
F(x) = \frac{x^2}{4} + x.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, obtemos
A = F(1) - F(0) = \Bigl(\frac{1^2}{4} + 1\Bigr) - \Bigl(\frac{0^2}{4} + 0\Bigr) = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}.

Resposta

\frac{5}{4}

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