Nos exercícios abaixo, use a transformada de Laplace para resolver as equações:
y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=-2, \quad y^{\prime \prime \prime}(0)=-1
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
Lista de informações dadas:
O que se pede: encontrar
para
usando a transformada de Laplace.
Passo 2
Lembra da definição e das propriedades principais que vamos usar (mini-aula):
A transformada de Laplace de uma função é
A transformada de Laplace de uma função
Propriedade chave para derivadas (válida se
e suas derivadas têm transformada):
Essas fórmulas vêm da integração por partes repetida; servem para transformar a EDO em uma equação algébrica em
.]
Passo 3
Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da EDO. Usando as fórmulas acima, obtemos:
Passo 4
Substituímos essas transformadas na EDO transformada:
Agrupando os termos que multiplicam
e os termos que envolvem as condições iniciais, obtemos
Passo 5
Substituímos as condições iniciais
nos termos não multiplicativos de
.
Calculemos o termo que sobra (chamo de ):
Calculemos o termo que sobra (chamo de
Agora com os valores:
Simplificando:
Passo 6
A equação transformada fica então
ou seja
Passo 7
Fatoramos o denominador para facilitar a decomposição em frações parciais. O polinômio
tem raízes inteiras testando
. Verificamos que
e
são raízes; dividindo sucessivamente obtemos
Passo 8
Fazemos a decomposição em frações parciais
Usamos o método “cover-up” (avaliar nos pólos) para achar
:
onde
. Assim
Passo 9
Aplicamos a transformada inversa termo a termo. Lembrando que
, obtemos
Podemos rapidamente conferir as condições iniciais substituindo
e derivando, se quiser — isso confirma que os coeficientes estão corretos.