Nos exercícios abaixo, use a transformada de Laplace para resolver as equações:
\frac{d^{4} y}{d t^{4}}+\frac{d^{3} y}{d t^{3}}-7 \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-\frac{d y}{d t}+6 y=0
y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=-2, \quad y^{\prime \prime \prime}(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{d^{4} y}{d t^{4}}+\frac{d^{3} y}{d t^{3}}-7 \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-\frac{d y}{d t}+6 y=0
com as condições iniciais
y(0)=1,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=-2,\quad y^{(3)}(0)=-1.
Lista de informações dadas:
\begin{aligned} &\text{EDO homogênea linear de ordem 4 com coeficientes constantes,}\\\ &y(0)=1,\; y'(0)=0,\; y''(0)=-2,\; y^{(3)}(0)=-1. \end{aligned}ê
O que se pede: encontrar y(t) para t\ge 0 usando a transformada de Laplace.

Passo 2

Lembra da definição e das propriedades principais que vamos usar (mini-aula):
A transformada de Laplace de uma função y(t) é
\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}y(t)\,dt.
Propriedade chave para derivadas (válida se y e suas derivadas têm transformada):
\begin{aligned} \mathcal{L}\{y'(t)\}&=sY(s)-y(0),\\[4pt] \mathcal{L}\{y''(t)\}&=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),\\[4pt] \mathcal{L}\{y^{(3)}(t)\}&=s^{3}Y(s)-s^{2}y(0)-s\,y'(0)-y''(0),\\[4pt] \mathcal{L}\{y^{(4)}(t)\}&=s^{4}Y(s)-s^{3}y(0)-s^{2}y'(0)-s\,y''(0)-y^{(3)}(0). \end{aligned}
Essas fórmulas vêm da integração por partes repetida; servem para transformar a EDO em uma equação algébrica em Y(s).]

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da EDO. Usando as fórmulas acima, obtemos:
\begin{aligned} \mathcal{L}\{y^{(4)}\}&=s^{4}Y(s)-s^{3}y(0)-s^{2}y'(0)-s\,y''(0)-y^{(3)}(0),\\[4pt] \mathcal{L}\{y^{(3)}\}&=s^{3}Y(s)-s^{2}y(0)-s\,y'(0)-y''(0),\\[4pt] \mathcal{L}\{y''\}&=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),\\[4pt] \mathcal{L}\{y'\}&=sY(s)-y(0),\qquad \mathcal{L}\{y\}=Y(s). \end{aligned}]

Passo 4

Substituímos essas transformadas na EDO transformada:
\begin{aligned} &\bigl(s^{4}Y - s^{3}y(0) - s^{2}y'(0) - s\,y''(0) - y^{(3)}(0)\bigr)\\\ &\quad+\bigl(s^{3}Y - s^{2}y(0) - s\,y'(0) - y''(0)\bigr)\\\ &\quad-7\bigl(s^{2}Y - s\,y(0)-y'(0)\bigr)\\\ &\quad-\bigl(sY - y(0)\bigr)+6Y=0. \end{aligned}
Agrupando os termos que multiplicam Y(s) e os termos que envolvem as condições iniciais, obtemos
\bigl(s^{4}+s^{3}-7s^{2}-s+6\bigr)Y(s) + \bigl(-s^{3}y(0)-s^{2}y'(0)-s y''(0)-y^{(3)}(0)\bigr)
\qquad +\bigl(-s^{2}y(0)-s y'(0)-y''(0)\bigr) +\bigl(7s y(0)+7y'(0)\bigr) +\bigl(y(0)\bigr)=0.

Passo 5

Substituímos as condições iniciais \;y(0)=1,\;y'(0)=0,\;y''(0)=-2,\;y^{(3)}(0)=-1\; nos termos não multiplicativos de Y.
Calculemos o termo que sobra (chamo de N(s)):
\begin{aligned} N(s)&=-s^{3}y(0)-s^{2}y'(0)-s y''(0)-y^{(3)}(0)\\\ &\quad -s^{2}y(0)-s y'(0)-y''(0) +7s y(0)+7y'(0)+y(0). \end{aligned}
Agora com os valores:
\begin{aligned} y(0)=1,\; y'(0)=0,\; y''(0)=-2,\; y^{(3)}(0)=-1\Rightarrow\\[4pt] N(s)&=-s^{3}\cdot1 - s^{2}\cdot0 - s\cdot(-2) -(-1)\\\ &\quad - s^{2}\cdot1 - s\cdot0 -(-2) +7s\cdot1 +7\cdot0 +1. \end{aligned}
Simplificando:
\begin{aligned} N(s)&=-s^{3} +2s +1 - s^{2} +2 +7s +1\\\ &=-s^{3}-s^{2}+9s+4. \end{aligned}]

Passo 6

A equação transformada fica então
\bigl(s^{4}+s^{3}-7s^{2}-s+6\bigr)Y(s) + N(s)=0,
ou seja
Y(s)= -\frac{N(s)}{s^{4}+s^{3}-7s^{2}-s+6} = \frac{s^{3}+s^{2}-9s-4}{s^{4}+s^{3}-7s^{2}-s+6}.

Passo 7

Fatoramos o denominador para facilitar a decomposição em frações parciais. O polinômio
s^{4}+s^{3}-7s^{2}-s+6
tem raízes inteiras testando s=\pm1,\pm2,\pm3,\pm6. Verificamos que s=1 e s=2 são raízes; dividindo sucessivamente obtemos
s^{4}+s^{3}-7s^{2}-s+6=(s-1)(s-2)(s+1)(s+3).

Passo 8

Fazemos a decomposição em frações parciais
\frac{s^{3}+s^{2}-9s-4}{(s-1)(s-2)(s+1)(s+3)} =\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s-2}+\frac{C}{s+1}+\frac{D}{s+3}.
Usamos o método “cover-up” (avaliar nos pólos) para achar A,B,C,D:
\begin{aligned} A&=\frac{q(1)}{(1-2)(1+1)(1+3)}=\frac{1+1-9-4}{(-1)(2)(4)}=\frac{-11}{-8}=\frac{11}{8},\\[4pt] B&=\frac{q(2)}{(2-1)(2+1)(2+3)}=\frac{8+4-18-4}{(1)(3)(5)}=\frac{-10}{15}=-\frac{2}{3},\\[4pt] C&=\frac{q(-1)}{(-1-1)(-1-2)(-1+3)}=\frac{-1+1+9-4}{(-2)(-3)(2)}=\frac{5}{12},\\[4pt] D&=\frac{q(-3)}{(-3-1)(-3-2)(-3+1)}=\frac{-27+9+27-4}{(-4)(-5)(-2)}=\frac{5}{-40}=-\frac{1}{8}, \end{aligned}
onde q(s)=s^{3}+s^{2}-9s-4. Assim
Y(s)=\frac{11}{8}\cdot\frac{1}{s-1}-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{s-2}+\frac{5}{12}\cdot\frac{1}{s+1}-\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{s+3}.]

Passo 9

Aplicamos a transformada inversa termo a termo. Lembrando que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}, obtemos
y(t)=\frac{11}{8}e^{t}-\frac{2}{3}e^{2t}+\frac{5}{12}e^{-t}-\frac{1}{8}e^{-3t}.
Podemos rapidamente conferir as condições iniciais substituindo t=0 e derivando, se quiser — isso confirma que os coeficientes estão corretos.

Resposta

y(t)=\frac{11}{8}e^{t}-\frac{2}{3}e^{2t}+\frac{5}{12}e^{-t}-\frac{1}{8}e^{-3t}

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