Nos exercícios abaixo, use a transformada de Laplace para resolver as equações:
\frac{d^{4} y}{d t^{4}}-y=0
y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=1, \quad y^{\prime \prime \prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial
\frac{d^{4} y}{d t^{4}} - y = 0
com as condições iniciais
y(0)=1,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=1,\quad y^{(3)}(0)=0.
Ou seja: quero a solução y(t) definida para t\ge 0 que satisfaça a equação dada e os quatro valores iniciais fornecidos.

Passo 2

O enunciado pede explicitamente para usar a transformada de Laplace, então vamos aplicá‑la. Primeiro, lembro a definição da transformada de Laplace de uma função f(t):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa (na prática, tratamos s como um número real grande o suficiente para a integral convergir). Importante para ela: transforma derivadas em expressões algébricas que envolvem a transformada F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e os valores iniciais.
A fórmula geral para a transformada da derivada de ordem n é
\mathcal{L}\{y^{(n)}(t)\}(s)=s^{n}Y(s)-s^{n-1}y(0)-s^{n-2}y'(0)-\cdots - y^{(n-1)}(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s). Vou usar essa fórmula para n=4.

Passo 3

Aplico a transformada de Laplace membro a membro na equação \;y^{(4)}(t)-y(t)=0\;. Pela linearidade:
\mathcal{L}\{y^{(4)}\}(s)-\mathcal{L}\{y\}(s)=0.
Usando a fórmula para derivadas (com Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}) obtemos:
\bigl(s^{4}Y(s)-s^{3}y(0)-s^{2}y'(0)-s\,y''(0)-y^{(3)}(0)\bigr)-Y(s)=0.
Agora substituo os valores iniciais y(0)=1,\;y'(0)=0,\;y''(0)=1,\;y^{(3)}(0)=0:
\bigl(s^{4}Y(s)-s^{3}\cdot 1 - s^{2}\cdot 0 - s\cdot 1 - 0\bigr)-Y(s)=0.
Isso simplifica para
(s^{4}-1)Y(s)-\bigl(s^{3}+s\bigr)=0.

Passo 4

Isolo Y(s):
Y(s)=\frac{s^{3}+s}{s^{4}-1}.
Fatoro o numerador e o denominador para tentar simplificar. Numerador:
s^{3}+s = s(s^{2}+1).
Denominador:
s^{4}-1=(s^{2}-1)(s^{2}+1)=(s-1)(s+1)(s^{2}+1).
Portanto
Y(s)=\frac{s(s^{2}+1)}{(s^{2}+1)(s^{2}-1)}.
Cancelando o fator comum (s^{2}+1) (válido porque trabalhamos como funções racionais em s, e esse cancelamento corresponde a simplificação algébrica):
Y(s)=\frac{s}{s^{2}-1}.

Passo 5

Agora faço a decomposição em frações parciais de
Y(s)=\frac{s}{s^{2}-1}=\frac{s}{(s-1)(s+1)}.
Proponho
\frac{s}{(s-1)(s+1)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+1}.
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s+1)\) dá \[s = A(s+1)+B(s-1).
Agrupando coeficientes:
s = (A+B)s + (A-B).
Comparando coeficientes do polinômio em s obtemos o sistema linear
\begin{cases} A+B=1,\\[4pt] A-B=0. \end{cases}
Da segunda equação A=B\]. Substituindo na primeira \(2A=1 A=B=\tfrac{1}{2}. Logo
Y(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s-1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+1}.]

Passo 6

Agora uso a transformada inversa. A transformada inversa básica que preciso é
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}(t)=e^{a t}.
Aplicando isso termo a termo:
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}(t)=\frac{1}{2}e^{t}+\frac{1}{2}e^{-t}.
Posso reconhecer essa combinação como a função hiperbólica cosseno:
y(t)=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}=\operatorname{cosh} t.

Passo 7

Para garantir que está tudo certo, faço uma verificação rápida das condições iniciais: \;y(0)=\operatorname{cosh} 0=1, \;y'(t)=\operatorname{sinh} t\Rightarrow y'(0)=0, \;y''(t)=\operatorname{cosh} t\Rightarrow y''(0)=1, \;y^{(3)}(t)=\operatorname{sinh} t\Rightarrow y^{(3)}(0)=0. Todas as condições iniciais são satisfeitas, logo a solução está correta.

Resposta

y(t)=\operatorname{cosh} t

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