Nos exercícios abaixo, use a transformada de Laplace para resolver as equações:
y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=1, \quad y^{\prime \prime \prime}(0)=0
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial
com as condições iniciais
Ou seja: quero a solução
definida para
que satisfaça a equação dada e os quatro valores iniciais fornecidos.
Passo 2
O enunciado pede explicitamente para usar a transformada de Laplace, então vamos aplicá‑la. Primeiro, lembro a definição da transformada de Laplace de uma função
:
onde
é a variável complexa (na prática, tratamos
como um número real grande o suficiente para a integral convergir). Importante para ela: transforma derivadas em expressões algébricas que envolvem a transformada
e os valores iniciais.
A fórmula geral para a transformada da derivada de ordem
é
onde
. Vou usar essa fórmula para
.
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace membro a membro na equação
. Pela linearidade:
Usando a fórmula para derivadas (com
) obtemos:
Agora substituo os valores iniciais
:
Isso simplifica para
Passo 4
Isolo
:
Fatoro o numerador e o denominador para tentar simplificar. Numerador:
Denominador:
Portanto
Cancelando o fator comum
(válido porque trabalhamos como funções racionais em
, e esse cancelamento corresponde a simplificação algébrica):
Passo 5
Agora faço a decomposição em frações parciais de
Proponho
Multiplicando ambos os lados por
Agrupando coeficientes:
Comparando coeficientes do polinômio em
obtemos o sistema linear
Da segunda equação
dá
. Logo
Passo 6
Agora uso a transformada inversa. A transformada inversa básica que preciso é
Aplicando isso termo a termo:
Posso reconhecer essa combinação como a função hiperbólica cosseno:
Passo 7
Para garantir que está tudo certo, faço uma verificação rápida das condições iniciais:
,
,
,
. Todas as condições iniciais são satisfeitas, logo a solução está correta.