EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
A pressão atmosférica nas proximidades do solo em uma certa região é dada por
p(x, y)=a \cdot x^{2}+b \cdot y^{2}+c
com a, b e c constantes positivas. Descreva as isobáricas (curvas de nível de p ) para pressões superiores a c.

Passo 1

O enunciado dá a pressão atmosférica na forma
p(x,y)=a\,x^{2}+b\,y^{2}+c,
com a,b,c>0, e pede que a gente descreva as isobáricas (curvas de nível) para pressões maiores que c. O conteúdo aqui é “curvas de nível de função de duas variáveis”: para cada valor fixo de pressão p_{0}, a curva de nível é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem p(x,y)=p_{0}.

Passo 2

Fixemos um nível de pressão \displaystyle p_{0} tal que \displaystyle p_{0}>c. A curva de nível (isobárica) asociada é o conjunto de (x,y) que satisfaz
a\,x^{2}+b\,y^{2}+c = p_{0}.

Passo 3

Isolamos os termos quadráticos:
a\,x^{2}+b\,y^{2} = p_{0}-c.
Como p_{0}-c>0, podemos dividir ambos os lados por p_{0}-c.

Passo 4

Dividindo por \,p_{0}-c, obtemos a equação na forma canônica de elipse:
\frac{x^{2}}{\frac{p_{0}-c}{a}} \;+\; \frac{y^{2}}{\frac{p_{0}-c}{b}} =1.

Passo 5

Portanto, para cada pressão p_{0}>c, a isobárica é uma elipse centrada na origem, com semi-eixo em x de tamanho \displaystyle \sqrt{\frac{p_{0}-c}{a}}
e semi-eixo em y de tamanho \displaystyle \sqrt{\frac{p_{0}-c}{b}}.

Resposta

Para cada nível de pressão p_{0}>c, a isobárica é a elipse
\frac{x^{2}}{\frac{p_{0}-c}{a}} +\, \frac{y^{2}}{\frac{p_{0}-c}{b}} =1,
ou seja, elipses centradas na origem com semi-eixos \sqrt{\tfrac{p_{0}-c}{a}} e \sqrt{\tfrac{p_{0}-c}{b}}.

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