Nos Exercicios de 1 a 8 , calcule a integral iterada.
3.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x+y}(x+y+z) d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\int_{0}^{x+y}(x+y+z)\,dz\,dy\,dx.
Aqui o conteúdo é integração de funções polinomiais em coordenadas cartesianas, integrando primeiro em z, depois em y e por fim em x.

Passo 2

Calcular a integral interna em z:
\int_{0}^{x+y}(x+y+z)\,dz =\int_{0}^{x+y}(x+y)\,dz+\int_{0}^{x+y}z\,dz =(x+y)(x+y)+\frac{(x+y)^2}{2} =\frac{3}{2}(x+y)^2.

Passo 3

Substituindo no iterado, fica
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\frac{3}{2}(x+y)^2\,dy\,dx =\frac{3}{2}\int_{0}^{1}\Bigl[\int_{0}^{x}(x+y)^2\,dy\Bigr]dx.
Agora
\int_{0}^{x}(x+y)^2\,dy =\left[\frac{(x+y)^3}{3}\right]_{y=0}^{y=x} =\frac{(2x)^3 - x^3}{3} =\frac{7x^3}{3}.

Passo 4

Temos então
\frac{3}{2}\int_{0}^{1}\frac{7x^3}{3}\,dx =\frac{7}{2}\int_{0}^{1}x^3\,dx =\frac{7}{2}\cdot\frac{1}{4} =\frac{7}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{8}

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