Nos Exercicios de 1 a 8 , calcule a integral iterada.
4.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} \int_{0}^{2-y} z d x d z d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{y=0}^{2}\int_{z=0}^{\sqrt{4-y^{2}}}\int_{x=0}^{2-y}z\;dx\;dz\;dy.
Aqui o que vamos usar é a definição de integral iterada e integrar em cada variável na ordem x, depois z e por fim y.

Passo 2

Integramos primeiro em x, tratando z e y como constantes:
\int_{x=0}^{2-y}z\;dx = z\int_{0}^{2-y}dx = z\,(2-y).

Passo 3

Substituindo no próximo nível, temos
\int_{z=0}^{\sqrt{4-y^{2}}}z\,(2-y)\;dz =(2-y)\int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}}z\;dz =(2-y)\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} =(2-y)\,\frac{4-y^{2}}{2}.

Passo 4

A integral original reduz-se então a
\int_{y=0}^{2}(2-y)\,\frac{4-y^{2}}{2}\;dy =\frac{1}{2}\int_{0}^{2}(2-y)(4-y^{2})\;dy.

Passo 5

Expandimos o integrando e integramos termo a termo:
(2-y)(4-y^{2})=8-4y-2y^{2}+y^{3},
então
\frac{1}{2}\int_{0}^{2}(8-4y-2y^{2}+y^{3})\;dy =\frac{1}{2}\Bigl[8y-2y^{2}-\tfrac{2}{3}y^{3}+\tfrac{1}{4}y^{4}\Bigr]_{0}^{2}.

Passo 6

Calculando em y=2:
8\cdot2-2\cdot2^{2}-\tfrac{2}{3}\,2^{3}+\tfrac{1}{4}\,2^{4} =16-8-\tfrac{16}{3}+4 =12-\tfrac{16}{3} =\tfrac{20}{3}.
Multiplicando por \tfrac12
\frac{1}{2}\cdot\frac{20}{3} =\frac{10}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{10}{3}

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