Nos exercícios, determine os extremantes da função f.
f(x)=x \cdot \ln x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de extremo (máximos ou mínimos locais) da função
f(x)=x\ln x,\quad x>0.
O conteúdo é cálculo diferencial: vamos calcular f'(x) para achar pontos críticos e usar f''(x) para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Pela regra do produto,
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)\cdot\ln x + x\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr) =1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} =\ln x +1.
Para ponto crítico, impomos f'(x)=0:
\ln x +1=0 \quad\Longrightarrow\quad \ln x=-1 \quad\Longrightarrow\quad x=e^{-1}.
O valor da função nesse ponto é
f\bigl(e^{-1}\bigr) =e^{-1}\ln\bigl(e^{-1}\bigr) =e^{-1}\cdot(-1) =-\frac{1}{e}.

Passo 3

Calculamos a segunda derivada para classificar o ponto crítico:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\ln x +1\bigr)=\frac{1}{x}.
Em x=e^{-1} temos
f''\bigl(e^{-1}\bigr) =\frac{1}{e^{-1}} =e>0,
logo a concavidade para cima indica que x=e^{-1} é um mínimo local.

Resposta

A função tem um único extremo:
mínimo local em \displaystyle\bigl(x,f(x)\bigr)=\bigl(e^{-1},-e^{-1}\bigr).

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