Nos exercícios, determine os extremantes da função f.
f(x)=e^{x^{3}-3 x}

Passo 1

O enunciado pede os pontos de extremante (máximo ou mínimo local) da função
f(x) = e^{x^3 - 3x}.
Para isso, precisamos encontrar os pontos críticos, isto é, resolver f'(x)=0, e depois classificar cada ponto usando o teste da segunda derivada.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando a regra da cadeia. Seja g(x)=x^3-3x; então
f(x)=e^{g(x)}
e
g'(x)=3x^2-3.
Logo,
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{g(x)}=e^{g(x)}\cdot g'(x) =e^{x^3-3x}(3x^2-3).
Para achar os pontos críticos, impomos
f'(x)=0
Como e^{x^3-3x}>0 para todo x, basta ter
3x^2-3=0 \quad\Longrightarrow\quad x^2=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm 1.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada e avaliamos em cada ponto crítico para classificar. Continuando com g(x)=x^3-3x, temos
g''(x)=6x, \quad g'(x)=3x^2-3,
e aplicando derivada em f'(x)=e^{g(x)}g'(x), obtemos
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl[e^{g(x)}g'(x)\bigr] =e^{g(x)}\bigl(g''(x)+(g'(x))^2\bigr) =e^{x^3-3x}\bigl(6x+(3x^2-3)^2\bigr).

Passo 4

Avaliamos f'' em x=1 e x=-1:
Para x=1:
f''(1) =e^{1^3-3\cdot1}\bigl(6\cdot1+(3\cdot1^2-3)^2\bigr) =e^{-2}\bigl(6+0^2\bigr) =6e^{-2}>0,
logo x=1 é ponto de mínimo local.
Para x=-1:
f''(-1) =e^{(-1)^3-3(-1)}\bigl(6(-1)+(3\cdot(-1)^2-3)^2\bigr) =e^{2}\bigl(-6+0^2\bigr) =-6e^{2}<0,
logo x=-1 é ponto de máximo local.

Resposta

Em x=-1 há um máximo local de valor f(-1)=e^2.
Em x=1 há um mínimo local de valor f(1)=e^{-2}.

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