Nos exercícios de 1 a 8, determine o valor dos limites apresentados. Aplique as propriedades algébricas e de limites para a resolução quando houver indeterminação.
lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{e^{x y}-1}{x y}\'

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando (x,y) tende a (0,0):
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{e^{xy}-1}{xy}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{função }F(x,y)=\frac{e^{xy}-1}{xy}\quad\text{e ponto de aproximação }(0,0).çãçã
Observação útil (apenas identificar a situação, sem resolver ainda): quando (x,y)\to(0,0) temos tanto o numerador e^{xy}-1 quanto o denominador xy tendendo a 0, portanto a forma é uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: mostrar que o produto u=xy tende a 0 quando (x,y)\to(0,0). Isto é importante porque a expressão depende de xy e podemos transformar o problema em um limite de uma função de uma variável u. Prova simples:
|xy| = \sqrt{x^2}\sqrt{y^2}\le \frac{x^2+y^2}{2},
pois 2|xy|\le x^2+y^2 (essa desigualdade vem de (|x|-|y|)^2\ge0). Como (x,y)\to(0,0) implica x^2+y^2\to0, segue que |xy|\to0. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} xy = 0.

Passo 3

Agora foquemos no limite de uma variável que aparece ao substituir u=xy\). Definimos a função de uma variável \[\varphi(u)= \begin{cases} \dfrac{e^{u}-1}{u}, & u\neq0,\\[6pt] 1, & u=0. \end{cases}
Queremos o valor de \lim_{(x,y)\to(0,0)} \varphi(xy)\]. Pelo passo anterior sabemos que \(u=xy\to0 quando (x,y)\to(0,0), então é natural estudar \lim_{u\to0}\varphi(u).]

Passo 4

Calcular \lim_{u\to0}\dfrac{e^{u}-1}{u}. Uma maneira clara e conceitual é ver essa expressão como o quociente fundamental que define a derivada da função e^{u} no ponto u=0. Pela definição da derivada,
\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-e^{0}}{u-0}= (e^{u})'\big|_{u=0}.
Como se sabe (Propriedade básica da função exponencial) a derivada de e^{u} é ela própria, isto é (e^{u})' = e^{u}. Portanto em u=0 temos (e^{u})'\big|_{u=0}=e^{0}=1. Assim
\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
Comentário alternativo (se preferir ver direto): pela expansão em série e^{u}=1+u+\tfrac{u^2}{2}+\cdots, dividir por u 1+\tfrac{u}{2}+\cdots que tende a 1 quando u\to0. Ambas as visões confirmam o mesmo resultado.

Passo 5

Agora usamos esse fato no problema em duas variáveis. Já vimos que xy\to0 quando (x,y)\to(0,0) e que
\lim_{u\to0}\varphi(u)=1,
ou seja, \varphi é contínua no ponto u=0 se atribuirmos \varphi(0)=1. Pela propriedade de limites de composição, quando uma função \varphi é contínua em 0 e xy\to0 temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \varphi(xy) = \varphi\!\left(\lim_{(x,y)\to(0,0)} xy\right)=\varphi(0)=1.
Concretamente isso significa
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{e^{xy}-1}{xy}=1.

Passo 6

Verificação por caminhos (checar intuição): se tomarmos y=x então a expressão vira \dfrac{e^{x^2}-1}{x^2} e, fazendo x\to0, obtemos 1 (mesmo resultado). Tomando y=kx com k fixo, obtemos \dfrac{e^{k x^2}-1}{k x^2} que também tende a 1. Essas verificações por caminhos são coerentes com o resultado geral já provado.

Resposta

\;1

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